 |
A B. 4761. feladat (2016. január) |
B. 4761. Legyen az n egész 3-nál nagyobb. Igazoljuk, hogy ha egy egész szám n alapú számrendszerbeli alakjában minden számjegy pontosan egyszer fordul elő, akkor a szám nem lehet prímszám.
Javasolta: Halasi Zoltán (Csobánka)
(4 pont)
A beküldési határidő 2016. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Belátjuk, hogy páros n esetén (n−1), páratlan n esetén n−12 valódi osztója ennek a számnak. Mivel n nagyobb 3-nál , ez igazolja az állítást. Írjuk fel a feladat szövegében szereplő számot az n hatványainak segítségével. A számban 0-tól (n−1)-ig minden számjegy pontosan egyszer fordul elő, tehát a szám n-jegyű:
an−1⋅nn−1+an−2⋅nn−2+…+a1⋅n+a0.
Azt is tudjuk, hogy an−1≠0. Most válasszuk külön a számjegyek összegét úgy, hogy mindegyik hatványból kivonjuk az együtthatójának megfelelő számjegyet, majd a számjegyek összegét ehhez adjuk hozzá:
an−1⋅nn−1+an−2⋅nn−2+…+a1⋅n+a0=
=an−1(nn−1−1)+an−2(nn−2−1)+…+a1(n−1)+an−1+an−2+…+a1+a0.
Az ai(ni−1) tagok mindegyikéből az ismert algebrai azonosság alapján kiemelhető (n−1). A számjegyek összege pedig valamilyen sorrendben éppen a 0,1,2,…,(n−1) számokból áll, így ezt az összeget is fel tudjuk pontosan írni:
1+2+…+(n−1)=n(n−1)2.
A különbségek mindegyikéből a fentiek alapján kiemelhető n−1, a számjegyek összegéből pedig páros n esetén (n−1), páratlan n esetén n−12. Mivel a feladatban szereplő szám nagyobb, mint nn−1, így megadtuk egy valódi osztóját, tehát biztosan nem prímszám.
Statisztika:
122 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 79 versenyző. 3 pontot kapott: 28 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2016. januári matematika feladatai
|
|