A B. 4765. feladat (2016. január)

B. 4765. Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszögben az \(\displaystyle ADB\sphericalangle\) és \(\displaystyle ACB\sphericalangle\) szögek felezői az \(\displaystyle AB\) oldalt rendre az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontokban, a \(\displaystyle CBD\sphericalangle\) és \(\displaystyle CAD\sphericalangle\) szögek felezői pedig a \(\displaystyle CD\) oldalt rendre a \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\) pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) pontok egy körön vannak.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. február 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Ha \(\displaystyle AB \| CD\), akkor az \(\displaystyle ABCD\) négyszög szimmetrikus trapéz, és az ábra szimmetrikus az \(\displaystyle AB\) szakasz felező merőlegesére. Így az \(\displaystyle E,F\), illetve \(\displaystyle G,H\) pontok szimmetrikusak a közös tengelyre, ezért \(\displaystyle EFGH\) is szimmetrikus trapéz, egyben húrnégyszög is.

A továbbiakban feltételezzük, hogy \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) nem párhuzamos.

Legyen \(\displaystyle X\) az \(\displaystyle AEFB\) és \(\displaystyle CGHD\) egyenesek metszéspontja. Azt fogjuk igazolni, hogy \(\displaystyle XE\cdot XF=XH\cdot XG\); a szelőtétel megfordítása szerint ebből következik, hogy \(\displaystyle E,F,G,H\) egy körön vannak.

Legyen a körülírt körön a \(\displaystyle C\)-vel szemközti \(\displaystyle AB\) ív felezőpontja \(\displaystyle M\), a \(\displaystyle A\)-vel szemközti \(\displaystyle CD\) ív felezőpontja \(\displaystyle N\), ekkor \(\displaystyle DM\), \(\displaystyle CM\), \(\displaystyle BN\), \(\displaystyle AN\) a feladatban felsorolt négy szögfelező, amik átmennek az \(\displaystyle E,F,G,H\) pontokon. Legyen az \(\displaystyle XM\) és az \(\displaystyle XN\) egyenesek második metszéspontja a körülírt körrel \(\displaystyle U\), illetve \(\displaystyle V\).

Teintsük az \(\displaystyle M\) középpontú, \(\displaystyle A,B\)-n átmenő körre vonatkozó inverziót. Ez az \(\displaystyle A,B,C,D,X\) pontokat rendre az \(\displaystyle A,B,F,E,U\) pontokba viszi. A \(\displaystyle CDX\) egyenes képe \(\displaystyle M\)-en átmenő kör, ezért \(\displaystyle E,F,U,M\) egy körön van. Ugyanígy láthatjuk, hogy \(\displaystyle G,H,V,N\) egy körön van.

Az \(\displaystyle X\) pontnak az \(\displaystyle FEUM\), \(\displaystyle UMNV\) és \(\displaystyle NVHG\) körökre vonatkozó hatványából

\(\displaystyle XE \cdot XF = XU \cdot XM = XV \cdot XN = XH \cdot XG. \)

Statisztika:

28 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Cseh Kristóf, Csorba Benjámin, Czirkos Angéla, Gáspár Attila, Glasznova Maja, György Levente, Horváth András János, Imolay András, Kerekes Anna, Kovács 246 Benedek, Lakatos Ádám, Németh 123 Balázs, Pap Tibor, Schrettner Bálint, Stein Ármin, Tibay Álmos, Török Tímea, Váli Benedek, Wiandt Péter.
5 pontot kapott:	Bukva Balázs.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2016. januári matematika feladatai