 |
A B. 4768. feladat (2016. február) |
B. 4768. Határozzuk meg azokat a törteket, melyeknek számlálója és nevezője is kétjegyű szám, a számláló második számjegye pedig megegyezik a nevező első számjegyével, továbbá a tört értéke nem változik, ha a két megegyező számjegyet elhagyjuk.
Javasolta: Velkeyné Gréczi Alice (Ipolyszög)
(3 pont)
A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle \frac{\overline{ab}}{\overline{bc}}\) egy ilyen tört. Ekkor \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) mind 0-tól különböző számjegyek, továbbá \(\displaystyle \frac{\overline{ab}}{\overline{bc}}=\frac{a}{c}\) teljesül. Ebből átszorzás után a \(\displaystyle (10a+b)c=(10b+c)a\) egyenletet kapjuk, amit \(\displaystyle 10a(c-b)=c(a-b)\) alakban is írhatunk. Ha \(\displaystyle a=b\), akkor mivel \(\displaystyle a\ne 0\), ezért az egyenlet pontosan \(\displaystyle c=b\) esetén teljesül. Azt kaptuk tehát, hogy \(\displaystyle \frac{\overline{aa}}{\overline{aa}}\) megoldást ad minden nemnulla \(\displaystyle a\)-ra. Összesen 9 ilyen tört van: \(\displaystyle \frac{11}{11}, \frac{22}{22},\dots,\frac{99}{99}\). A továbbiakban tegyük fel, hogy \(\displaystyle a\ne b\). Mivel \(\displaystyle 10|c(a-b)\), ezért \(\displaystyle 5|c\) vagy \(\displaystyle 5|a-b\).
Vizsgáljuk meg először az \(\displaystyle 5|c\) esetet. Ekkor \(\displaystyle c\) értéke csak 5 lehet, és az egyenlet \(\displaystyle 10a(5-b)=5(a-b)\), vagyis \(\displaystyle 2a(5-b)=a-b\) alakban írható. Ebből rendezés után \(\displaystyle 0=2ab-9a-b\) adódik, ahol 2-vel szorozva, majd mindkét oldalhoz 9-et adva az egyenlet jobb oldalát szorzattá tudjuk alakítani: \(\displaystyle 9=(2a-1)(2b-9)\). Itt \(\displaystyle 2a-1\) és \(\displaystyle 2b-9\) egész számok, továbbá \(\displaystyle 2a-1\geq 1\), így a jobb oldalon álló szorzat csak \(\displaystyle 1\cdot 9\), \(\displaystyle 3\cdot 3\) vagy \(\displaystyle 9\cdot 1\) lehet. Ezekből az esetekből rendre az \(\displaystyle a=1\), \(\displaystyle b=9\); \(\displaystyle a=2\), \(\displaystyle b=6\); \(\displaystyle a=5\), \(\displaystyle b=5\) számpárokat kapjuk. Vagyis a következő megoldásokat kapjuk: \(\displaystyle \frac{19}{95}=\frac{1}{5}\), \(\displaystyle \frac{26}{65}=\frac{2}{5}\), \(\displaystyle \frac{55}{55}=\frac{5}{5}\), melyek közül az utolsót már megkaptuk korábban is.
Végül tegyük fel, hogy \(\displaystyle 5|a-b\), de \(\displaystyle a-b\ne 0\). Ekkor csak \(\displaystyle a-b=5\) vagy \(\displaystyle a-b=-5\) lehet. Ha \(\displaystyle a-b=5\) lenne, akkor \(\displaystyle 10a(c-b)=5c\)-ből \(\displaystyle 2a(c-b)=c\) következik, viszont \(\displaystyle a=b+5\geq 6\) miatt \(\displaystyle 2a\geq 12\), így ez nem teljesülhet. Tehát \(\displaystyle a-b=-5\), azaz \(\displaystyle 10a(c-b)=-5c\), amiből \(\displaystyle 2a(b-c)=c\). Felhasználva, hogy \(\displaystyle b=a+5\), ebből \(\displaystyle c\) értékére \(\displaystyle c=\frac{2a(a+5)}{2a+1}\) adódik. Mivel \(\displaystyle b=a+5\leq 9\), ezért \(\displaystyle a\in\{1,2,3,4\}\). Ezeket az értékeket kipróbálva \(\displaystyle c\)-re rendre a \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle \frac{28}{5}\), \(\displaystyle \frac{48}{7}\), \(\displaystyle 8\) értékeket kapjuk, vagyis \(\displaystyle a=1\) és \(\displaystyle a=4\) esetén kapunk megoldást: \(\displaystyle a=1,b=6,c=4\) és \(\displaystyle a=4\), \(\displaystyle b=9\), \(\displaystyle c=8\). Két újabb megoldást kaptunk: \(\displaystyle \frac{16}{64}=\frac{1}{4}\) és \(\displaystyle \frac{49}{98}=\frac{4}{8}\).
Összesen 13 törtre teljesülnek tehát a feltételek: \(\displaystyle \frac{11}{11}\), \(\displaystyle \frac{22}{22}\), \(\displaystyle \dots\), \(\displaystyle \frac{99}{99}\), \(\displaystyle \frac{19}{95}\), \(\displaystyle \frac{26}{65}\), \(\displaystyle \frac{16}{64}\), \(\displaystyle \frac{49}{98}\) (melyek közül az első 9-nek egyaránt 1 az értéke).
Statisztika:
130 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 57 versenyző. 2 pontot kapott: 45 versenyző. 1 pontot kapott: 23 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2016. februári matematika feladatai