A B. 4770. feladat (2016. február)

B. 4770. Milyen számjegyre végződhet a pozitív egész \(\displaystyle n\ge 3\) szám, ha \(\displaystyle n+n^{2}+ \ldots+n^{2n-3} - 4\) prímszám?

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle n\) páros, akkor a kifejezés szintén páros, azonban \(\displaystyle n\geq 4\)-re 2-nél nagyobb az értéke, így nem lehet pozitív prímszám. Vagyis \(\displaystyle n\) páratlan: \(\displaystyle n=2k+1\) valamely \(\displaystyle k\geq 1\) egész számra.

A mértani sorozatot összegezve: \(\displaystyle n+n^2+\dots+n^{2n-3}-4=\frac{n^{2n-2}-n}{n-1}-4=\frac{n^{2n-2}-5n+4}{n-1}=\frac{n^{4k}-5n+4}{n-1}\). Ha \(\displaystyle 5\nmid n\), akkor a kis Fermat-tétel szerint az \(\displaystyle n^4\) szám 5-ös maradéka 1, így \(\displaystyle n^{4k}\) szintén 1 maradékot ad 5-tel osztva, ezért \(\displaystyle \frac{n^{4k}-5n+4}{n-1}\) számlálója 5-tel osztható. Ha az \(\displaystyle n\) szám 5-ös maradéka nem 1, akkor a nevező nem osztható 5-tel, így a tört értéke 5-tel osztható. Ha az \(\displaystyle n\) szám 5-ös maradéka 1, akkor \(\displaystyle n+n^2+\dots+n^{2n-3}-4\) szám 5-ös maradéka ugyanannyi, mint a \(\displaystyle 2n-3-4=2n-7\) szám 5-ös maradéka, ami ebben az esetben 0. A vizsgált összeg ezek szerint \(\displaystyle 5\nmid n\) esetén 5-tel osztható, így csak akkor lehetne pozitív prímszám, ha 5 lenne. Azonban \(\displaystyle n\geq 3\) esetén \(\displaystyle n+n^2+\dots+n^{2n-3}-4\geq n+n^2-4\geq 3+3^2-4=8>5\), ezért a kifejezés nem lehet prímszám. Azt kaptuk tehát, hogy ha \(\displaystyle n\) nem 5-tel osztható páratlan szám, akkor a kifejezés nem prímszám. Így, ha a kifejezés értéke prímszám, akkor \(\displaystyle n\) páratlan és 5-tel osztható, így utolsó számjegye csak 5 lehet. Elképzelhető lenne ugyanakkor, hogy \(\displaystyle n\) semmilyen értékére nem kapunk prímszámot, azonban könnyen ellenőrizhető, hogy \(\displaystyle n=5\)-re \(\displaystyle 5+5^2+\dots+5^7-4=97651\) például prímszám. Tehát \(\displaystyle n\) utolsó jegye 5.

Statisztika:

122 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	93 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2016. februári matematika feladatai