 |
A B. 4770. feladat (2016. február) |
B. 4770. Milyen számjegyre végződhet a pozitív egész n≥3 szám, ha n+n2+…+n2n−3−4 prímszám?
(4 pont)
A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha n páros, akkor a kifejezés szintén páros, azonban n≥4-re 2-nél nagyobb az értéke, így nem lehet pozitív prímszám. Vagyis n páratlan: n=2k+1 valamely k≥1 egész számra.
A mértani sorozatot összegezve: n+n2+⋯+n2n−3−4=n2n−2−nn−1−4=n2n−2−5n+4n−1=n4k−5n+4n−1. Ha 5∤n, akkor a kis Fermat-tétel szerint az n4 szám 5-ös maradéka 1, így n4k szintén 1 maradékot ad 5-tel osztva, ezért n4k−5n+4n−1 számlálója 5-tel osztható. Ha az n szám 5-ös maradéka nem 1, akkor a nevező nem osztható 5-tel, így a tört értéke 5-tel osztható. Ha az n szám 5-ös maradéka 1, akkor n+n2+⋯+n2n−3−4 szám 5-ös maradéka ugyanannyi, mint a 2n−3−4=2n−7 szám 5-ös maradéka, ami ebben az esetben 0. A vizsgált összeg ezek szerint 5∤n esetén 5-tel osztható, így csak akkor lehetne pozitív prímszám, ha 5 lenne. Azonban n≥3 esetén n+n2+⋯+n2n−3−4≥n+n2−4≥3+32−4=8>5, ezért a kifejezés nem lehet prímszám. Azt kaptuk tehát, hogy ha n nem 5-tel osztható páratlan szám, akkor a kifejezés nem prímszám. Így, ha a kifejezés értéke prímszám, akkor n páratlan és 5-tel osztható, így utolsó számjegye csak 5 lehet. Elképzelhető lenne ugyanakkor, hogy n semmilyen értékére nem kapunk prímszámot, azonban könnyen ellenőrizhető, hogy n=5-re 5+52+⋯+57−4=97651 például prímszám. Tehát n utolsó jegye 5.
Statisztika:
122 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 93 versenyző. 3 pontot kapott: 21 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2016. februári matematika feladatai
|
|