A B. 4772. feladat (2016. február)

B. 4772. Igaz-e, hogy ha két konvex négyszög négy-négy oldalának és két-két átlójának hossza megegyezik, akkor a két négyszög egybevágó?

Javasolta: Vígh Viktor (Szeged)

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Nem igaz, hogy ha két konvex négyszög négy-négy oldalának és két-két átlójának hossza megegyezik, akkor a két négyszög egybevágó. Ezt egy ellenpéldával fogjuk megmutatni. Vegyük fel az 1. ábra szerinti \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), \(\displaystyle e\) értékeket és szerkesszük meg az \(\displaystyle ABCD\) négyszöget úgy, hogy \(\displaystyle e\) legyen az egyik átlója és az oldalak sorrendje \(\displaystyle AB=a\), \(\displaystyle BC=b\), \(\displaystyle CD=c\), \(\displaystyle DA=d\) legyen. Majd szerkesszünk ugyanerre az \(\displaystyle e\) átlóra egy másik négyszöget úgy, hogy az oldalak sorrendje \(\displaystyle AB'=a\), \(\displaystyle B'C=c\), \(\displaystyle CD'=d\), \(\displaystyle D'A=b\) legyen.

1. ábra

Az ábrán látható, hogy az első négyszög \(\displaystyle BD=f\) átlója nagyobb, mint a második négyszög \(\displaystyle B'D'=f'\) átlója. Ezt számítással is ellenőrizhetjük és közben azt is láthatjuk, hogy a két négyszög bizonyos szögei különbözőek, így a két négyszög nem egybevágó.

Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben az oldalak ismeretében a koszinusz tételt alkalmazva számoljuk ki a \(\displaystyle BAC\angle=\delta_1\) szöget. Hasonlóan az \(\displaystyle ACD\) háromszögben a \(\displaystyle DAC\angle=\delta_2\) szöget. A \(\displaystyle \delta=\delta_1+\delta_2\) szög ismeretében az \(\displaystyle ABD\) háromszögben szintén koszinusz tétellel kiszámolhatjuk a \(\displaystyle BD=f\) oldalt, ami az \(\displaystyle ABCD\) négyszög másik átlójának hossza. Hasonlóan kiszámolhatjuk az \(\displaystyle AB'CD'\) négyszög \(\displaystyle f'\) átlóját. A fenti adatokkal számolva: \(\displaystyle f=7,95>7,75=f'\).

Növeljük meg az \(\displaystyle e\) átló hosszát \(\displaystyle 8,8\) egységre a 2. ábra szerint. Végezzük el a szerkesztést, majd az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle f'\) átlók kiszámítását.

2. ábra

\(\displaystyle e=8,8\) értékkel számolva azt kapjuk, hogy \(\displaystyle f=6,58<6,9=f'\). Mivel \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle f'\) hossza e értékének folytonos függvénye, ezért a Bolzano-tétel szerint létezik olyan \(\displaystyle e_k\in ]8;8,8[\) közbenső érték, melyre \(\displaystyle f=f'\) (3. ábra).

3. ábra

Ezzel megadtunk egy ellenpéldát.

Geogebra fájl mozgatható \(\displaystyle C\) ponttal: B.4772_mozgathato_c-ponttal.ggb

Statisztika:

31 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Szécsényi Nándor.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	27 versenyző.

A KöMaL 2016. februári matematika feladatai