 |
A B. 4773. feladat (2016. február) |
B. 4773. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle O\), a körülírt köré pedig \(\displaystyle K\). Bizonyítsuk be, hogy az
\(\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{AB}+ \frac{\overrightarrow{BC}}{BC}+ \frac{\overrightarrow{CA}}{CA} \)
vektor merőleges az \(\displaystyle OK\) egyenesre.
Javasolta: Holló Gábor (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyenek a háromszög \(\displaystyle A, B, C\) csúcsaival szemközti oldalak hosszai a szokásos jelöléssel \(\displaystyle a, b, c\), továbbá a \(\displaystyle K\) pontból a csúcsokba mutató vektorok rendre \(\displaystyle \mathbf{a}, \mathbf{b}\) és \(\displaystyle \mathbf{c}\). A vektorokat a köréírt kör középpontjából irányítjuk a csúcsokba, tehát \(\displaystyle |\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=R\).
A megoldás során felhasználjuk azt az ismert tényt, hogy a \(\displaystyle K\) pontból az \(\displaystyle O\) pontba mutató vektor a fenti jelölések mellett kifejezhető a csúcsokba mutató vektorok és a háromszög oldalai hosszának segítségével:
\(\displaystyle \overrightarrow{KO}=\frac{a\cdot \mathbf{a}+b\cdot \mathbf{b}+c\cdot \mathbf{c}}{a+b+c}. \)
Felhasználjuk azt is, hogy az egyes oldalvektorok hosszának négyzete felírható a vektorok önmagukkal vett skaláris szorzataként, amelyből a speciális jelöléseinkkel kifejezhetőek az \(\displaystyle \mathbf{a}\mathbf{b}, \mathbf{b}\mathbf{c}\) és \(\displaystyle \mathbf{c}\mathbf{a}\) skaláris szorzatok. Például:
\(\displaystyle c^{2}=(\mathbf{b}-\mathbf{a})^{2}=\mathbf{b}^{2}-2\mathbf{b}\mathbf{a}+\mathbf{a}^{2}=2R^{2}-2\mathbf{a}\mathbf{b},\)
\(\displaystyle \mathbf{a}\mathbf{b}=R^{2}-\frac{c^{2}}{2}.\)
Ugyanezzel a módszerrel:
\(\displaystyle \mathbf{b}\mathbf{c}=R^{2}-\frac{a^{2}}{2}, \text { }\mathbf{c}\mathbf{a}=R^{2}-\frac{b^{2}}{2} .\)
Most belátjuk, hogy a feladatban szereplő \(\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{AB}+\frac{\overrightarrow{BC}}{BC}+\frac{\overrightarrow{CA}}{CA}\) vektor és a \(\displaystyle \overrightarrow{KO}\) vektor skaláris szorzata nulla. A megoldás során felhasználjuk a skaláris szorzás disztributív tulajdonságát, továbbá az \(\displaystyle \mathbf{a}\mathbf{b}, \mathbf{b}\mathbf{c}\) és \(\displaystyle \mathbf{c}\mathbf{a}\) skaláris szorzatok fenti kifejtéseit. A továbbiakban a \(\displaystyle \overrightarrow{KO}\) vektor helyett az azzal párhuzamos, de egyszerűbben kezelhető \(\displaystyle a\cdot \mathbf{a}+b\cdot \mathbf{b}+c\cdot \mathbf{c}\) vektorral dolgozunk.
\(\displaystyle \Big(\frac{\overrightarrow{AB}}{AB}+\frac{\overrightarrow{BC}}{BC}+\frac{\overrightarrow{CA}}{CA}\Big)\Big(\overrightarrow{KO}\Big)= \Big(\frac{\mathbf{b}-\mathbf{a}}{c}+\frac{\mathbf{c}-\mathbf{b}}{a}+\frac{\mathbf{a}-\mathbf{c}}{b}\Big)(a\cdot \mathbf{a}+b\cdot \mathbf{b}+c\cdot \mathbf{c}).\)
A beszorzásnál azonnal beírjuk, hogy \(\displaystyle |\mathbf{a}|^{2}=|\mathbf{b}|^{2}=|\mathbf{c}|^{2}=R^{2}\).
\(\displaystyle \Big(\frac{\mathbf{b}-\mathbf{a}}{c}+\frac{\mathbf{c}-\mathbf{b}}{a}+\frac{\mathbf{a}-\mathbf{c}}{b}\Big)(a\cdot \mathbf{a}+b\cdot \mathbf{b}+c\cdot \mathbf{c})=\frac{a}{c}\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}-\frac{a}{c}R^{2}+\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\frac{a}{b}R^{2}-\frac{a}{b}\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}+\)
\(\displaystyle +\frac{b}{c}R^{2}-\frac{b}{c}\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\frac{b}{a}\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}-\frac{b}{a}R^{2}+\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}-\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}+\frac{c}{a}R^{2}-\frac{c}{a}\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}+\frac{c}{b}\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}-\frac{c}{b}R^{2}=\)
\(\displaystyle =\Big(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}-\frac{c}{b}-\frac{a}{c}\Big)R^{2}+\Big(\frac{a}{c}-\frac{b}{c}\Big)\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\Big(\frac{b}{a}-\frac{c}{a}\Big)\mathbf{b}\cdot \mathbf{c} + \Big(\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\Big)\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}.\)
Végül felhasználjuk az \(\displaystyle \mathbf{a}\mathbf{b}, \mathbf{b}\mathbf{c}\) és \(\displaystyle \mathbf{c}\mathbf{a}\) skaláris szorzatok kifejezéseit:
\(\displaystyle \Big(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}-\frac{c}{b}-\frac{a}{c}\Big)R^{2}+\Big(\frac{a}{c}-\frac{b}{c}\Big)\Big(R^{2}-\frac{c^{2}}{2}\Big)+ \Big(\frac{b}{a}-\frac{c}{a}\Big)\Big(R^{2}-\frac{a^{2}}{2}\Big) + \Big(\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\Big)\Big(R^{2}-\frac{b^{2}}{2}\Big)=\)
\(\displaystyle =\Big(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}-\frac{c}{b}-\frac{a}{c}\Big)R^{2}+\Big( \frac{a}{c}-\frac{b}{c}+\frac{b}{a}-\frac{c}{a}+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\Big)R^{2}-\frac{ac}{2}+\frac{bc}{2}-\frac{ab}{2}+\frac{ac}{2}-\frac{bc}{2}+\frac{ab}{2}=0.\)
Tehát a két vektor merőleges.
Statisztika:
48 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Al-Sayyed Zakariás, Andó Angelika, Ardai István Tamás, Barabás Ábel, Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Borbényi Márton, Bukva Balázs, Cseh Kristóf, Csorba Benjámin, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Glasznova Maja, Hornák Bence, Horváth András János, Imolay András, Jakus Balázs István, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Keresztfalvi Bálint, Klász Viktória, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Lajkó Kálmán, Matolcsi Dávid, Molnár-Sáska Zoltán, Németh 123 Balázs, Németh 417 Tamás, Nguyen Viet Hung, Pálfy Máté András, Polgár Márton, Schrettner Bálint, Souly Alexandra, Szécsényi Nándor, Szemerédi Levente, Tóth Viktor, Vághy Mihály, Vágó Ákos, Vankó Miléna, Varga-Umbrich Eszter. 4 pontot kapott: Kosztolányi Kata, Váli Benedek. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2016. februári matematika feladatai