 |
A B. 4774. feladat (2016. február) |
B. 4774. A p1 (y=−x2+b1x+c1) és a p2 (y=−x2+b2x+c2) parabolák érintik a p3 (y=x2+b3x+c3) parabolát. Bizonyítsuk be, hogy az érintési pontokat összekötő egyenes párhuzamos p1 és p2 közös érintőjével.
Kvant
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen p1 és p2 közös érintője e, továbbá p1∩p3=A1, p2∩p3=A2. Legyen az e egyenes meredeksége m. Az (x,y)↦(x,y−mx) affinitás e-t egy x-tengellyel párhuzamos e′ egyenesbe viszi át. A p1 és p2 parabolákat ez az affinitás két p1-gyel és p2-vel egybevágó parabolába viszi át: p′1 és p′2. Az A1 és A2 pontok képe legyen rendre A′1 és A′2. Pontosan akkor teljesül, hogy e és A1A2 párhuzamosak, ha e′ és A′1A′2 párhuzamosak, vagyis, ha A′1A′2 is párhuzamos az x-tengellyel. Feltehetjük, hogy p′1 egyenlete y=−(x−t)2, p′2 egyenlete pedig y=−(x+t)2. (Egy eltolás alkalmazásával ez elérhető, ami azon, hogy teljesül-e a bizonyítandó állítás nem változtat.) A p′3 parabola (egyenlete legyen y=x2+ux+v) az A′1 és A′2 pontokban érinti p′1-t és p′2-t, vagyis az x2+ux+v+(x−t)2 és x2+ux+v+(x+t)2 polinomok diszkriminánsa is 0. Azaz (u+2t)2=8(v+t2)=(u−2t)2. Ebből t≠0 miatt u=0 következik, ami azt is jelenti, hogy p′3-nak az y-tengely szimmetriatengelye. Mivel p′1 és p′2 egymás tükörképei az y-tengelyre, ezért A′1 és A′2 is, vagyis A′1A′2 merőleges az y-tengelyre, így párhuzamos az x-tengellyel, és mi éppen ezt akartuk bizonyítani.
Statisztika:
65 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 54 versenyző. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2016. februári matematika feladatai
|
|