 |
A B. 4774. feladat (2016. február) |
B. 4774. A \(\displaystyle p_1\) \(\displaystyle \big(y=-x^2+b_1 x+c_1\big)\) és a \(\displaystyle p_2\) \(\displaystyle \big(y=-x^2+b_2 x+c_2\big)\) parabolák érintik a \(\displaystyle p_3\) \(\displaystyle \big(y=x^2+b_3x+c_3\big)\) parabolát. Bizonyítsuk be, hogy az érintési pontokat összekötő egyenes párhuzamos \(\displaystyle p_1\) és \(\displaystyle p_2\) közös érintőjével.
Kvant
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle p_1\) és \(\displaystyle p_2\) közös érintője \(\displaystyle e\), továbbá \(\displaystyle p_1\cap p_3=A_1\), \(\displaystyle p_2\cap p_3=A_2\). Legyen az \(\displaystyle e\) egyenes meredeksége \(\displaystyle m\). Az \(\displaystyle (x,y) \mapsto (x,y-mx)\) affinitás \(\displaystyle e\)-t egy \(\displaystyle x\)-tengellyel párhuzamos \(\displaystyle e'\) egyenesbe viszi át. A \(\displaystyle p_1\) és \(\displaystyle p_2\) parabolákat ez az affinitás két \(\displaystyle p_1\)-gyel és \(\displaystyle p_2\)-vel egybevágó parabolába viszi át: \(\displaystyle p_1'\) és \(\displaystyle p_2'\). Az \(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle A_2\) pontok képe legyen rendre \(\displaystyle A_1'\) és \(\displaystyle A_2'\). Pontosan akkor teljesül, hogy \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle A_1A_2\) párhuzamosak, ha \(\displaystyle e'\) és \(\displaystyle A_1'A_2'\) párhuzamosak, vagyis, ha \(\displaystyle A_1'A_2'\) is párhuzamos az \(\displaystyle x\)-tengellyel. Feltehetjük, hogy \(\displaystyle p_1'\) egyenlete \(\displaystyle y=-(x-t)^2\), \(\displaystyle p_2'\) egyenlete pedig \(\displaystyle y=-(x+t)^2\). (Egy eltolás alkalmazásával ez elérhető, ami azon, hogy teljesül-e a bizonyítandó állítás nem változtat.) A \(\displaystyle p_3'\) parabola (egyenlete legyen \(\displaystyle y=x^2+ux+v\)) az \(\displaystyle A_1'\) és \(\displaystyle A_2'\) pontokban érinti \(\displaystyle p_1'\)-t és \(\displaystyle p_2'\)-t, vagyis az \(\displaystyle x^2+ux+v+(x-t)^2\) és \(\displaystyle x^2+ux+v+(x+t)^2\) polinomok diszkriminánsa is 0. Azaz \(\displaystyle (u+2t)^2=8(v+t^2)=(u-2t)^2\). Ebből \(\displaystyle t\ne0\) miatt \(\displaystyle u=0\) következik, ami azt is jelenti, hogy \(\displaystyle p_3'\)-nak az \(\displaystyle y\)-tengely szimmetriatengelye. Mivel \(\displaystyle p_1'\) és \(\displaystyle p_2'\) egymás tükörképei az \(\displaystyle y\)-tengelyre, ezért \(\displaystyle A_1'\) és \(\displaystyle A_2'\) is, vagyis \(\displaystyle A_1'A_2'\) merőleges az \(\displaystyle y\)-tengelyre, így párhuzamos az \(\displaystyle x\)-tengellyel, és mi éppen ezt akartuk bizonyítani.
Statisztika:
65 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 54 versenyző. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2016. februári matematika feladatai