A B. 4775. feladat (2016. február)

B. 4775. Határozzuk meg azon \(\displaystyle (n,k)\) pozitív egész számpárokat, melyekre tetszőleges \(\displaystyle a_1\ge a_2\ge \ldots \ge a_{2k+1}\ge 0\) valós számok esetén teljesül, hogy

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2k+1} {(-1)}^{i-1} a_{i}^{n}\ge \bigg(\sum_{i=1}^{2k+1} {(-1)}^{i-1} a_{i}\bigg)^{\!\!n}. \)

Javasolta: Somogyi Ákos (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen

\(\displaystyle f(a_1,a_2,\dots,a_{2k+1})=\left(\sum_{i=1}^{2k+1} {(-1)}^{i-1} a_{i}^{n}\right)- \bigg(\sum_{i=1}^{2k+1} {(-1)}^{i-1} a_{i}\bigg)^{\!\!n}.\)

Be fogjuk bizonyítani, hogy tetszőleges pozitív egész \(\displaystyle n\), \(\displaystyle k\) számok és \(\displaystyle a_1\geq a_2\geq\dots\geq a_{2k+1}\) esetén \(\displaystyle f(a_1,a_2,\dots,a_{2k+1})\geq 0\).

Legyen \(\displaystyle n\) rögzített, \(\displaystyle k\)-ra vonatkozó teljes indukcióval bizonyítjuk az egyenlőtlenséget. Az állítás igaz (és triviális) abban az esetben, ha \(\displaystyle k=0\). Tegyük fel most, hogy \(\displaystyle k\)-ra már igazoltuk az állítást, ahol \(\displaystyle k\) nemnegatív egész szám; belátjuk, hogy \(\displaystyle k+1\)-re is igaz. Legyen \(\displaystyle a_1=a_2+\Delta\), itt \(\displaystyle \Delta\geq 0\). Vizsgáljuk \(\displaystyle f(a_2+\Delta,a_2,\dots,a_{2k+3})\) értékét \(\displaystyle \Delta\) függvényében. Legyen \(\displaystyle u=a_2\) és \(\displaystyle v=\sum\limits_{i=3}^{2k+3}(-1)^{i-1}a_i\). Világos, hogy

\(\displaystyle 0\leq (a_3-a_4)+(a_5-a_6)+\dots+(a_{2k+1}-a_{2k+2})+a_{2k+3}=v=\)

\(\displaystyle =a_3-(a_4-a_5)-(a_6-a_7)-\dots-(a_{2k+2}-a_{2k+3})\leq a_3\leq a_2=u.\)

Ezért \(\displaystyle f(a_2+\Delta,a_2,\dots,a_{2k+3})=(u+\Delta)^n+\left(\sum\limits_{i=2}^{2k+3} {(-1)}^{i-1} a_{i}^{n}\right) -(v+\Delta)^n=(u-v)((u+\Delta)^{n-1}+(u+\Delta)^{n-2}(v+\Delta)+\dots+(v+\Delta)^{n-1})+\left(\sum\limits_{i=2}^{2k+3} {(-1)}^{i-1} a_{i}^{n}\right)\), és ebből az alakból azonnal leolvashatjuk, hogy \(\displaystyle f(a_2+\Delta,a_2,\dots,a_{2k+3})\) értékét nem növeljük, ha \(\displaystyle \Delta\) értékét 0-ra változtatjuk. Azaz \(\displaystyle f(a_1,a_2,\dots,a_{2k+3})\geq f(a_2,a_2,a_3,\dots,a_{2k+3})=f(a_3,a_4,\dots,a_{2k+3})\), ami viszont az indukciós feltevés szerint nemnegatív. Ezzel az állításunkat bizonyítottuk.

Statisztika:

29 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Besenyi Tibor, Bodolai Előd, Borbényi Márton, Bukva Balázs, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Glasznova Maja, Hansel Soma, Harsányi Benedek, Horváth András János, Imolay András, Klász Viktória, Kőrösi Ákos, Lajkó Kálmán, Matolcsi Dávid, Németh 123 Balázs, Tóth Viktor, Váli Benedek.
5 pontot kapott:	Busa 423 Máté, Nagy Dávid Paszkál, Souly Alexandra.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2016. februári matematika feladatai