A B. 4777. feladat (2016. március)

B. 4777. Az B-4777-es bolygón háromféle nép él: az alfák, a béták és a gammák. Az egyik népbe tartozóknak (nem feltétlenül az alfáknak) 2 kezük, a másik népbe tartozóknak 3 kezük, a harmadik népbe tartozóknak pedig 4 kezük van. Az egyik népnél (nem feltétlenül a 2 kezeseknél) egy-egy kézen 4 ujj van, a másik népnél 5 ujj, a harmadiknál 6 ujj van egy-egy kézen. Mindegyik nép olyan alapú számrendszert használ, ahány kézujja van. (Ha pl. a 4 kezeseknek 6-6 ujja van: ők 24-es alapú számrendszert használnak.) Az alfák saját számrendszerében felírt \(\displaystyle 64_{\alpha}\) száma megegyezik a béták \(\displaystyle 51_{\beta}\) számával. Hány keze, és azon hány ujja van az alfáknak, a bétáknak, illetve a gammáknak?

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az alfák, béták, gammák számrendszerének alapja legyen rendre \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), \(\displaystyle \gamma\). Mivel \(\displaystyle 6\alpha+4=5\beta+1\), ezért \(\displaystyle \beta\)-nak páratlannak kell lennie. Vagyis a bétáknak 3 kezük és minden kezükön 5-5 ujjuk van, hiszen csak így kaphatunk páratlan ujjszámot. Ekkor \(\displaystyle 6\alpha+4=5\cdot 15+1=76\) miatt \(\displaystyle \alpha=12\). A fennmaradó lehetséges kézszámok: \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 4\), ujjszámok pedig: \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 6\). A 12-es szorzat csak \(\displaystyle 2\cdot 6\)-ként tud előállni, ezért az alfáknak 2 kezük, és minden kezükön 6 ujjuk van, a gammáknak pedig 4 kezük és minden kezükön 4 ujjuk van.

Statisztika:

160 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	150 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai