A B. 4783. feladat (2016. március)

B. 4783. Egy bolha ugrál az \(\displaystyle ABCD\) négyzet csúcsain, az \(\displaystyle A\) csúcsról indulva. Minden egyes ugrásnál \(\displaystyle \frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{2}\) valószínűséggel valamelyik szomszédos csúcsba ugrik. A bolha akkor áll meg, ha az utolsó olyan csúcsot is eléri, amin addig még nem volt. Határozzuk meg, hogy melyik csúcs mekkora valószínűséggel lesz utolsó.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A szimmetria miatt a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle D\) csúcsok esetében a keresett valószínűség ugyanakkora, ezt a közös értéket jelölje \(\displaystyle p\), a \(\displaystyle C\) csúcs esetén pedig a valószínűség legyen \(\displaystyle q\). Könnyen belátható, hogy a bolha 1 valószínűséggel előbb-utóbb minden csúcsra eljut, és így \(\displaystyle 2p+q=1\). Ugyanis 3 egymást követő ugrás során \(\displaystyle 1/4\) valószínűséggel végig egyforma irányba megy -- és ily módon minden csúcsot meglátogat --, ezért annak a valószínűsége, hogy \(\displaystyle 3k\) ugrás után még nem járt mindenhol, legfeljebb \(\displaystyle (3/4)^k\), ami tart a 0-hoz, ha \(\displaystyle k\to \infty\).

Most megmutatjuk, hogy \(\displaystyle p=q\), ehhez annak a valószínűségét vizsgáljuk meg, hogy \(\displaystyle C\) lesz az utolsóként meglátogatott csúcs. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy az első ugrás után \(\displaystyle B\)-ben van. Azt kell meghatároznunk, mekkora valószínűséggel jut el innen előbb \(\displaystyle D\)-be, mint \(\displaystyle C\)-be. Ha \(\displaystyle D\)-be még \(\displaystyle C\) előtt jut el, akkor közben \(\displaystyle A\)-ban is járnia kell, vagyis pont azok az ugrás-sorozatok teljesítik a feltételt, amelyeknél a \(\displaystyle B\)-ből induló ugrás-sorozat során \(\displaystyle C\)-be, vagyis egy szomszédos csúcsba jut el utoljára. A szimmetria miatt ennek a valószínűsége \(\displaystyle p\), ezért valóban \(\displaystyle q=p\).

Tehát \(\displaystyle p=q=1/3\), vagyis a keresett valószínűség mindhárom csúcs esetén \(\displaystyle 1/3\).

Statisztika:

109 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	34 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai