A B. 4783. feladat (2016. március)

B. 4783. Egy bolha ugrál az $\displaystyle ABCD$ négyzet csúcsain, az $\displaystyle A$ csúcsról indulva. Minden egyes ugrásnál $\displaystyle \frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{2}$ valószínűséggel valamelyik szomszédos csúcsba ugrik. A bolha akkor áll meg, ha az utolsó olyan csúcsot is eléri, amin addig még nem volt. Határozzuk meg, hogy melyik csúcs mekkora valószínűséggel lesz utolsó.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A szimmetria miatt a $\displaystyle B$ és $\displaystyle D$ csúcsok esetében a keresett valószínűség ugyanakkora, ezt a közös értéket jelölje $\displaystyle p$, a $\displaystyle C$ csúcs esetén pedig a valószínűség legyen $\displaystyle q$. Könnyen belátható, hogy a bolha 1 valószínűséggel előbb-utóbb minden csúcsra eljut, és így $\displaystyle 2p+q=1$. Ugyanis 3 egymást követő ugrás során $\displaystyle 1/4$ valószínűséggel végig egyforma irányba megy -- és ily módon minden csúcsot meglátogat --, ezért annak a valószínűsége, hogy $\displaystyle 3k$ ugrás után még nem járt mindenhol, legfeljebb $\displaystyle (3/4)^k$, ami tart a 0-hoz, ha $\displaystyle k\to \infty$.

Most megmutatjuk, hogy $\displaystyle p=q$, ehhez annak a valószínűségét vizsgáljuk meg, hogy $\displaystyle C$ lesz az utolsóként meglátogatott csúcs. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy az első ugrás után $\displaystyle B$-ben van. Azt kell meghatároznunk, mekkora valószínűséggel jut el innen előbb $\displaystyle D$-be, mint $\displaystyle C$-be. Ha $\displaystyle D$-be még $\displaystyle C$ előtt jut el, akkor közben $\displaystyle A$-ban is járnia kell, vagyis pont azok az ugrás-sorozatok teljesítik a feltételt, amelyeknél a $\displaystyle B$-ből induló ugrás-sorozat során $\displaystyle C$-be, vagyis egy szomszédos csúcsba jut el utoljára. A szimmetria miatt ennek a valószínűsége $\displaystyle p$, ezért valóban $\displaystyle q=p$.

Tehát $\displaystyle p=q=1/3$, vagyis a keresett valószínűség mindhárom csúcs esetén $\displaystyle 1/3$.

Statisztika:

109 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	34 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai