 |
A B. 4784. feladat (2016. március) |
B. 4784. Igazoljuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség:
\(\displaystyle 2\big(a^4+b^4+c^4\big)+\frac{71+17\sqrt{17}}{2}\ge 4abc+ a^2b^2+c^2a^2+3b^2c^2. \)
Javasolta: Mehtaab Sawhney (Commack, NY (USA))
(6 pont)
A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenlőtlenséget nyilván elég arra az esetre igazolni, ha \(\displaystyle a,b,c\) nemnegatívak. Célunk az egyenlőtlenség jobb oldalán szereplő kifejezéseket felülről becsülni \(\displaystyle a^4,b^4,c^4,1^4\) alkalmas együtthatós összegével oly módon, hogy a becslések összege a bal oldalt adja. Legyenek \(\displaystyle p,\,q>0\) paraméterek, melyeket később választunk meg. Először a mértani és a négyzetes közepek közötti egyenlőtlenség felhasználásával a következő becsléseket adjuk:
\(\displaystyle a^2b^2=p^2q^2\left(\frac{a}{p}\right)^2\left(\frac{b}{q}\right)^2\leq \frac{p^2q^2}{2}\left( \frac{a^4}{p^4}+\frac{b^4}{q^4} \right) =\frac{q^2}{2p^2}a^4+\frac{p^2}{2q^2}b^4,\)
\(\displaystyle a^2c^2=p^2q^2\left(\frac{a}{p}\right)^2\left(\frac{c}{q}\right)^2\leq \frac{p^2q^2}{2}\left( \frac{a^4}{p^4}+\frac{c^4}{q^4} \right) =\frac{q^2}{2p^2}a^4+\frac{p^2}{2q^2}c^4,\)
\(\displaystyle 3b^2c^2\leq \frac{3}{2}b^4+\frac{3}{2}c^4.\)
Végül a mértani és a negyedik hatványközép közti egyenlőtlenség szerint:
\(\displaystyle 4abc=4pq^2 \cdot\frac{a}{p}\cdot\frac{b}{q}\cdot\frac{c}{q}\cdot1\leq pq^2 \left( \frac{a^4}{p^4}+\frac{b^4}{q^4}+\frac{c^4}{q^4}+1 \right)= \frac{q^2}{p^3}a^4+\frac{p}{q^2}b^4+\frac{p}{q^2}c^4+pq^2. \)
A kapott egyenlőtlenségeket összeadva a következőt kapjuk:
\(\displaystyle 4abc+a^2b^2+c^2a^2+3b^2c^2\leq \left(\frac{q^2}{p^2}+ \frac{q^2}{p^3} \right)a^4+\left(\frac{p^2}{2q^2}+\frac{p}{q^2}+\frac{3}{2} \right)(b^4+c^4)+pq^2.\)
Ahhoz, hogy a kapott egyenlőtlenség jobb oldalán \(\displaystyle a^4,b^4,c^4\) együtthatója egyaránt 2 legyen az szükséges, hogy \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) paraméterekre teljesüljenek a következő egyenletek:
\(\displaystyle \frac{q^2}{p^2}+ \frac{q^2}{p^3}=2,\)
\(\displaystyle \frac{p^2}{2q^2}+\frac{p}{q^2}=\frac{1}{2}.\)
Bevezetve az \(\displaystyle x=\frac{q^2}{p^2}\) jelölést, és az egyenleteket átalakítva:
\(\displaystyle \frac{x}{p}=2-x,\)
\(\displaystyle \frac{1}{px}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x}.\)
A kapott egyenleteket elosztva egymással:
\(\displaystyle x^2=\frac{2-x}{\frac{1}{2}-\frac{1}{2x}}.\)
Ez az egyenlet átszorzás után az \(\displaystyle x^2+x-4=0\) egyenletre vezet, aminek egyetlen pozitív gyöke \(\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\). Ennek segítségével már kifejezhetjük \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) értékét:
\(\displaystyle p=\frac{x}{2-x}=\frac{3+\sqrt{17}}{2},\)
\(\displaystyle q=p\sqrt{x}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\cdot \sqrt{\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}.\)
Könnyen ellenőrizhető, hogy \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) pozitív számokra valóban teljesülnek a fenti egyenletek, így ezzel a választással a korábban kapott egyenlőtlenség:
\(\displaystyle 4abc+a^2b^2+c^2a^2+3b^2c^2\leq \left(\frac{q^2}{p^2}+ \frac{q^2}{p^3} \right)a^4+\left(\frac{p^2}{2q^2}+\frac{p}{q^2}+\frac{3}{2} \right)(b^4+c^4)+pq^2=\)
\(\displaystyle =2(a^4+b^4+c^4)+\frac{3+\sqrt{17}}{2}\cdot \frac{(3+\sqrt{17})^2}{4}\cdot \frac{-1+\sqrt{17}}{2} =2(a^4+b^4+c^4)+\frac{71+17\sqrt{17}}{2},\)
vagyis éppen a bizonyítandó állítást nyertük.
A megoldásból az is leolvasható, hogy egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a mértani és hatványközepek közötti egyenlőtlenségek mindegyikénél egyenlőség teljesül, vagyis ha \(\displaystyle \frac{a}{p}=\frac{b}{q}=\frac{c}{q}=1\), azaz, ha \(\displaystyle a=p=\frac{3+\sqrt{17}}{2},\,b=c=q=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\cdot \sqrt{\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\).
Az eredeti feladatban \(\displaystyle a,b,c\) tetszőleges valós számok lehetnek, ezekre egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle |a|,|b|,|c|\) nemnegatív számokra egyenlőség teljesül, továbbá \(\displaystyle abc\geq 0\). Vagyis egyenlőség pontosan arra a négy számpárra teljesül, melyre \(\displaystyle |a|=p=\frac{3+\sqrt{17}}{2},\,|b|=|c|=q=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\cdot \sqrt{\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\) és \(\displaystyle a,b,c\) számok közül páros soknak pozitív az előjele.
Statisztika:
22 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Andó Angelika, Borbényi Márton, Fajszi Bulcsú, Glasznova Maja, Horváth András János, Imolay András, Klász Viktória, Kocsis Júlia, Lajkó Kálmán, Matolcsi Dávid, Németh 123 Balázs, Polgár Márton, Szemerédi Levente, Tiszay Ádám, Tóth Viktor, Vághy Mihály. 5 pontot kapott: Keresztes László, Váli Benedek. 4 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai