 |
A B. 4788. feladat (2016. április) |
B. 4788. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán:
\(\displaystyle x^2+y^3 =x+1,\)
\(\displaystyle x^3+y^2 =y+1.\)
Javasolta: Szoldatics József (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A két egyenletet egymásból kivonva, majd rendezés után szorzattá alakítva a következő egyenletet kapjuk:
| \(\displaystyle (x-y)(x^2+xy+y^2-x-y+1)=0. \) | (1) |
Először vizsgáljuk meg az \(\displaystyle x=y\) esetet. Ekkor az eredeti egyenletek rendezés utáni alakja: \(\displaystyle x^3+x^2-x-1=0\). A kapott harmadfokú polinomot alakítsuk szorzattá:
\(\displaystyle x^3+x^2-x-1=(x-1)(x+1)^2,\)
így a polinom gyökei \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle -1\), vagyis az \(\displaystyle x=y=1\) és az \(\displaystyle x=y=-1\) megoldásokat kapjuk.
Ha \(\displaystyle x\ne y\), akkor (1) szerint \(\displaystyle x^2+xy+y^2-x-y+1=0\), azonban ez nem lehetséges, ugyanis
\(\displaystyle 2(x^2+xy+y^2-x-y+1)=(x+y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2,\)
és három valós szám négyzetének összege csak úgy lehetne 0, ha mindegyikük 0, azonban \(\displaystyle x=y=1\) esetén \(\displaystyle x+y=2\ne 0\).
Tehát az egyenletrendszernek két megoldása van: \(\displaystyle x=y=1\) és \(\displaystyle x=y=-1\).
Statisztika:
114 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 82 versenyző. 3 pontot kapott: 9 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 13 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2016. áprilisi matematika feladatai