A B. 4788. feladat (2016. április)

B. 4788. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán:

$\displaystyle x^2+y^3 =x+1,$

$\displaystyle x^3+y^2 =y+1.$

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A két egyenletet egymásból kivonva, majd rendezés után szorzattá alakítva a következő egyenletet kapjuk:

Először vizsgáljuk meg az $\displaystyle x=y$ esetet. Ekkor az eredeti egyenletek rendezés utáni alakja: $\displaystyle x^3+x^2-x-1=0$. A kapott harmadfokú polinomot alakítsuk szorzattá:

$\displaystyle x^3+x^2-x-1=(x-1)(x+1)^2,$

így a polinom gyökei $\displaystyle 1$ és $\displaystyle -1$, vagyis az $\displaystyle x=y=1$ és az $\displaystyle x=y=-1$ megoldásokat kapjuk.

Ha $\displaystyle x\ne y$, akkor (1) szerint $\displaystyle x^2+xy+y^2-x-y+1=0$, azonban ez nem lehetséges, ugyanis

$\displaystyle 2(x^2+xy+y^2-x-y+1)=(x+y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2,$

és három valós szám négyzetének összege csak úgy lehetne 0, ha mindegyikük 0, azonban $\displaystyle x=y=1$ esetén $\displaystyle x+y=2\ne 0$.

Tehát az egyenletrendszernek két megoldása van: $\displaystyle x=y=1$ és $\displaystyle x=y=-1$.

Statisztika:

114 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	82 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2016. áprilisi matematika feladatai