A B. 4789. feladat (2016. április)

B. 4789. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle A$-ból, illetve $\displaystyle B$-ből induló belső szögfelezője a körülírt kört másodszor a $\displaystyle G$, illetve a $\displaystyle H$ pontban metszi. Az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt körének érintési pontja a $\displaystyle BC$ oldalon a $\displaystyle D$, az $\displaystyle AC$ oldalon pedig az $\displaystyle E$ pont. Legyen továbbá a $\displaystyle DCE$ háromszög körülírt körének középpontja a $\displaystyle K$ pont. Mutassuk meg, hogy a $\displaystyle G$, $\displaystyle H$ és $\displaystyle K$ pontok egy egyenesre illeszkednek.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle O$ a beírt kör, $\displaystyle O_{A}$ pedig a $\displaystyle BC$ oldalhoz tartozó hozzáírt kör középpontja. $\displaystyle D$ és $\displaystyle E$ érintési pontok, ezért $\displaystyle ODC\angle =OEC\angle =90^{\circ}$. Ezek szerint a $\displaystyle D$ és $\displaystyle E$ pontok $\displaystyle OC$ Thalesz-körén helyezkednek el, a kör középpontja, egyben a $\displaystyle DCE$ háromszög köréírt körének középpontja, az $\displaystyle OC$ szakasz $\displaystyle K$ felezőpontja.

A $\displaystyle B$ és $\displaystyle C$ csúcsokhoz tartozó belső és külső szögfelezők merőlegesek egymásra, így $\displaystyle BOCO_{A}$ szintén húrnégyszög, a $\displaystyle B$ és $\displaystyle C$ pontok az $\displaystyle OO_{A}$ szakasz Thalesz-körén vannak, melynek középpontja az $\displaystyle OO_{A}$ szakasz felezőpontja. Ezen a ponton átmegy a $\displaystyle BC$ húrhoz tartozó felezőmerőleges. A Thalesz-kör középpontja tehát a $\displaystyle BC$ ív $\displaystyle G$ felezőpontja. Beláttuk, hogy a $\displaystyle G$ pont egyenlő távolságra van az $\displaystyle O, B, C, O_{A}$ pontoktól. Ebből a feladat megoldásához a továbbiakban arra a lesz szükség, hogy $\displaystyle OG=CG$. Ugyanezzel a gondolatmenettel igazolható, hogy $\displaystyle OH=CH$. Az $\displaystyle OHCG$ négyszög tehát deltoid, amelynek szimmetriatengelye a $\displaystyle GH$ egyenes. Ez az egyenes felezi a másik átlót a $\displaystyle K$ pontban. A $\displaystyle G, K, H$ pontok egy egyenesre illeszkednek.

Statisztika:

86 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	82 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. áprilisi matematika feladatai