A B. 4789. feladat (2016. április)

B. 4789. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\)-ból, illetve \(\displaystyle B\)-ből induló belső szögfelezője a körülírt kört másodszor a \(\displaystyle G\), illetve a \(\displaystyle H\) pontban metszi. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének érintési pontja a \(\displaystyle BC\) oldalon a \(\displaystyle D\), az \(\displaystyle AC\) oldalon pedig az \(\displaystyle E\) pont. Legyen továbbá a \(\displaystyle DCE\) háromszög körülírt körének középpontja a \(\displaystyle K\) pont. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) és \(\displaystyle K\) pontok egy egyenesre illeszkednek.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle O\) a beírt kör, \(\displaystyle O_{A}\) pedig a \(\displaystyle BC\) oldalhoz tartozó hozzáírt kör középpontja. \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) érintési pontok, ezért \(\displaystyle ODC\angle =OEC\angle =90^{\circ}\). Ezek szerint a \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) pontok \(\displaystyle OC\) Thalesz-körén helyezkednek el, a kör középpontja, egyben a \(\displaystyle DCE\) háromszög köréírt körének középpontja, az \(\displaystyle OC\) szakasz \(\displaystyle K\) felezőpontja.

A \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) csúcsokhoz tartozó belső és külső szögfelezők merőlegesek egymásra, így \(\displaystyle BOCO_{A}\) szintén húrnégyszög, a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontok az \(\displaystyle OO_{A}\) szakasz Thalesz-körén vannak, melynek középpontja az \(\displaystyle OO_{A}\) szakasz felezőpontja. Ezen a ponton átmegy a \(\displaystyle BC\) húrhoz tartozó felezőmerőleges. A Thalesz-kör középpontja tehát a \(\displaystyle BC\) ív \(\displaystyle G\) felezőpontja. Beláttuk, hogy a \(\displaystyle G\) pont egyenlő távolságra van az \(\displaystyle O, B, C, O_{A}\) pontoktól. Ebből a feladat megoldásához a továbbiakban arra a lesz szükség, hogy \(\displaystyle OG=CG\). Ugyanezzel a gondolatmenettel igazolható, hogy \(\displaystyle OH=CH\). Az \(\displaystyle OHCG\) négyszög tehát deltoid, amelynek szimmetriatengelye a \(\displaystyle GH\) egyenes. Ez az egyenes felezi a másik átlót a \(\displaystyle K\) pontban. A \(\displaystyle G, K, H\) pontok egy egyenesre illeszkednek.

Statisztika:

86 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	82 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. áprilisi matematika feladatai