A B. 4790. feladat (2016. április)

B. 4790. Az \(\displaystyle ABC\) nem egyenlő szárú háromszög súlyvonalainak megrajzoljuk a Thalész-körét. Az \(\displaystyle A\)-ból, \(\displaystyle B\)-ből, illetve \(\displaystyle C\)-ből induló súlyvonal Thalész-köre az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körét a csúcsoktól különböző \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), illetve \(\displaystyle C_1\) pontban is metszi. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle A\)-ban \(\displaystyle AA_1\)-re, \(\displaystyle B\)-ben \(\displaystyle BB_1\)-re, \(\displaystyle C\)-ben pedig \(\displaystyle CC_1\)-re állított merőleges egyenesek egy ponton mennek át.

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a körülírt kör \(\displaystyle k\), középpontja \(\displaystyle O\). A pontokat \(\displaystyle O\)-ból induló helyvektoraikkal fogjuk reprezentálni. Legyen \(\displaystyle \vec{OA}=\mathbf{a}\), \(\displaystyle \vec{OB}=\mathbf{b}\) és \(\displaystyle \vec{OC}=\mathbf{c}\).

Legyen \(\displaystyle T_A\) és \(\displaystyle F_A\) az \(\displaystyle A\)-ból induló súlyvonal talp-, illetve felezőpontja; az \(\displaystyle AT_A\) Thalész-köre \(\displaystyle k_A\); ennek középpontja \(\displaystyle F_A\). Mivel a \(\displaystyle T_A\) pont a \(\displaystyle BC\), az \(\displaystyle F_A\) pont pedig az \(\displaystyle AT_A\) szakasz felezőpontja, \(\displaystyle \vec{OT_A} = \frac{\vec{OB}+\vec{OC}}2 = \frac12\mathbf{b}+\frac12\mathbf{c}\) és \(\displaystyle \vec{OF_A} = \frac{\vec{OA}+\vec{OT_A}}2 = \frac12\mathbf{a}+\frac14\mathbf{b}+\frac14\mathbf{c}\).

Az \(\displaystyle OF_A\) egyenes a \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle k_A\) körök centrálisa, merőleges a két kör közös \(\displaystyle AA_1\) húrjára. Ezért az \(\displaystyle A\)-ban \(\displaystyle AA_1\)-re állított merőleges egy tetszőleges \(\displaystyle X\) pontját úgy kaphatjuk, hogy az \(\displaystyle A\) pontot eltoljuk az \(\displaystyle \vec{OF_A}\) vektor egy skalárszorosával:

\(\displaystyle \vec{OX} = \vec{OA} + x\cdot \vec{OF_A} = \left(1+\frac{x}{2}\right) \mathbf{a} + \frac{x}4\mathbf{b} + \frac{x}4\mathbf{c}. \)

Válasszuk az \(\displaystyle x\) számot úgy, hogy az \(\displaystyle \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\) vektorok együtthatója megyegyezzen. Az \(\displaystyle x=-4\) választással \(\displaystyle 1+\frac{x}{2}=\frac{x}4=-1\), és

\(\displaystyle \vec{OX} = -(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}). \)

(Jól ismert, hogy \(\displaystyle \mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}\) a magasságpont heyvektora; az \(\displaystyle X\) pont tehát a magasságpont \(\displaystyle O\)-ra vonatkozó tükörképe.)

Az \(\displaystyle A,B,C\) pontok szerepének permutálásával, ugyanígy látható, hogy a \(\displaystyle B\)-ben \(\displaystyle BB_1\)-re, illetve a \(\displaystyle C\)-ben \(\displaystyle CC_1\)-re állított merőlegesek is átmennek ezen a ponton.

Statisztika:

30 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Borbényi Márton, Cseh Kristóf, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Hansel Soma, Horváth András János, Imolay András, Kerekes Anna, Keresztes László, Keresztfalvi Bálint, Klász Viktória, Kosztolányi Kata, Lajkó Kálmán, Matolcsi Dávid, Nagy Dávid Paszkál, Németh 123 Balázs, Németh 417 Tamás, Nguyen Viet Hung, Polgár Márton, Schrettner Bálint, Tóth Viktor, Váli Benedek.
4 pontot kapott:	Bukva Balázs, Radnai Bálint.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2016. áprilisi matematika feladatai