A B. 4791. feladat (2016. április)

B. 4791. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle AD$ és $\displaystyle CE$ magasságvonalainak metszéspontja az $\displaystyle M$ pont. A $\displaystyle DE$ egyenes az $\displaystyle AC$ oldalegyenest a $\displaystyle P$ pontban metszi. Igazoljuk, hogy a $\displaystyle PM$ egyenes merőleges a háromszög $\displaystyle B$ csúcsból induló súlyvonalára.

(Kvant)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje $\displaystyle F$ az $\displaystyle AC$ oldal felezőpontját! Az $\displaystyle M$ pont az $\displaystyle ABC$ háromszög magasságpontja, ezért $\displaystyle BM$ is magasságvonal az $\displaystyle ABC$ háromszögben, és egyben a $\displaystyle PFB$ háromszög magasságvonala is.

1. ábra

Először belátjuk, hogy az $\displaystyle FM$ egyenes merőleges a $\displaystyle PB$ oldalra. Ebből következik majd, hogy az $\displaystyle M$ pont a $\displaystyle PFB$ háromszög magasságpontja is, hiszen két magasságvonalának metszéspontja. Így a harmadik magasságvonal, $\displaystyle PM$ merőleges a $\displaystyle BF$ oldalra, ami az $\displaystyle ACB$ háromszög súlyvonala, és így a feladat állítása teljesül.

Legyen az $\displaystyle N$ pont az $\displaystyle M$ pontnak a $\displaystyle PB$ egyenesre eső merőleges vetülete (2. ábra). Ekkor a $\displaystyle BM$ szakasszal az $\displaystyle N$, $\displaystyle E$ és $\displaystyle D$ pontok is derékszögű háromszöget alkotnak, így mindhárom pont rajta van a $\displaystyle BM$ szakasz fölé emelt Thalész-körön. Ebben a körben $\displaystyle BND\angle$ és $\displaystyle BED\angle$ azonos ívhez tartozó kerületi szögek, tehát egyenlők.

2. ábra

Hasonló okok miatt az $\displaystyle ACDE$ négyszög húrnégyszög, és ezért a köré írt, $\displaystyle AC$ átmérőjű körben $\displaystyle AED\angle+ACD\angle=180^{\circ}$ (3. ábra).

3. ábra

Mivel $\displaystyle AED\angle+BED\angle=180^{\circ}$ is teljesül, így $\displaystyle ACD\angle=BED\angle$.

Beláttuk, hogy $\displaystyle BND\angle=BED\angle$, így kiegészítő szögeik is egyenlők: $\displaystyle PND\angle=AED\angle$. Ezért $\displaystyle PND\angle+PCD\angle=180^{\circ}$, és így a $\displaystyle PNDC$ négyszög is húrnégyszög (4. ábra).

4. ábra

A köré írt körben $\displaystyle NDP\angle$ és $\displaystyle NCP\angle$ azonos ívhez tartozó kerületi szögek, tehát egyenlők. $\displaystyle NDP\angle=NDE\angle=NBE\angle$, mert az utóbbi két szög a $\displaystyle BM$ átmérőjű körben azonos ívhez tartozó kerületi szög. Így $\displaystyle NCA\angle=NCP\angle=NBE\angle=NBA\angle$, ez pedig azt jelenti, hogy az $\displaystyle N$ pont az $\displaystyle ABC$ háromszög köréírt körére esik, az $\displaystyle ABCN$ négyszög is húrnégyszög (5. ábra).

Legyen az $\displaystyle MN$ egyenes metszéspontja az $\displaystyle ABC$ háromszög körülírt körével a $\displaystyle Q$ pont. Mivel $\displaystyle BNQ\angle=90^{\circ}$, ezért $\displaystyle BQ$ ennek a körnek átmérője, így $\displaystyle BAQ\angle=BCQ\angle=90^{\circ}$. $\displaystyle AQ$ és $\displaystyle EC$ merőlegesek $\displaystyle AB$-re, ezért párhuzamosak egymással. Hasonlóan $\displaystyle QC\parallel AD$. Tehát $\displaystyle AQCM$ paralelogramma. Mivel átlói felezik egymást, így $\displaystyle QM$ és ezzel együtt $\displaystyle MN$ átmegy $\displaystyle AC$ felezőpontján, vagyis az $\displaystyle FN$ egyenes merőleges $\displaystyle PB$ oldalra. Ezt akartuk belátni.

5. ábra

Diszkusszió. Ha a háromszög $\displaystyle B$-nél derékszögű, akkor nem jön létre a $\displaystyle DE$ egyenes. Ha $\displaystyle AB=BC$, akkor $\displaystyle ED||AC$, nem jön létre a $\displaystyle P$ pont. Végül, ha a háromszög $\displaystyle A$-nál vagy $\displaystyle C$-nél derékszögű, akkor nem jön létre a $\displaystyle PM$ egyenes.

Statisztika:

48 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andó Angelika, Cseh Kristóf, Csorba Benjámin, Fuisz Gábor, Horváth András János, Kocsis Júlia, Kondákor Márk, Nagy Dávid Paszkál, Polgár Márton, Szabó 417 Dávid, Vágó Ákos, Váli Benedek.
4 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Hansel Soma, Imolay András, Kerekes Anna, Kovács 711 Bálint, Lajkó Kálmán, Lakatos Ádám, Matolcsi Dávid, Molnár-Sáska Zoltán, Németh 123 Balázs, Schrettner Bálint, Szabó Kristóf, Szemerédi Levente, Varsányi András.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2016. áprilisi matematika feladatai