A B. 4791. feladat (2016. április)

B. 4791. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle CE\) magasságvonalainak metszéspontja az \(\displaystyle M\) pont. A \(\displaystyle DE\) egyenes az \(\displaystyle AC\) oldalegyenest a \(\displaystyle P\) pontban metszi. Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle PM\) egyenes merőleges a háromszög \(\displaystyle B\) csúcsból induló súlyvonalára.

(Kvant)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle AC\) oldal felezőpontját! Az \(\displaystyle M\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontja, ezért \(\displaystyle BM\) is magasságvonal az \(\displaystyle ABC\) háromszögben, és egyben a \(\displaystyle PFB\) háromszög magasságvonala is.

1. ábra

Először belátjuk, hogy az \(\displaystyle FM\) egyenes merőleges a \(\displaystyle PB\) oldalra. Ebből következik majd, hogy az \(\displaystyle M\) pont a \(\displaystyle PFB\) háromszög magasságpontja is, hiszen két magasságvonalának metszéspontja. Így a harmadik magasságvonal, \(\displaystyle PM\) merőleges a \(\displaystyle BF\) oldalra, ami az \(\displaystyle ACB\) háromszög súlyvonala, és így a feladat állítása teljesül.

Legyen az \(\displaystyle N\) pont az \(\displaystyle M\) pontnak a \(\displaystyle PB\) egyenesre eső merőleges vetülete (2. ábra). Ekkor a \(\displaystyle BM\) szakasszal az \(\displaystyle N\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle D\) pontok is derékszögű háromszöget alkotnak, így mindhárom pont rajta van a \(\displaystyle BM\) szakasz fölé emelt Thalész-körön. Ebben a körben \(\displaystyle BND\angle\) és \(\displaystyle BED\angle\) azonos ívhez tartozó kerületi szögek, tehát egyenlők.

2. ábra

Hasonló okok miatt az \(\displaystyle ACDE\) négyszög húrnégyszög, és ezért a köré írt, \(\displaystyle AC\) átmérőjű körben \(\displaystyle AED\angle+ACD\angle=180^{\circ}\) (3. ábra).

3. ábra

Mivel \(\displaystyle AED\angle+BED\angle=180^{\circ}\) is teljesül, így \(\displaystyle ACD\angle=BED\angle\).

Beláttuk, hogy \(\displaystyle BND\angle=BED\angle\), így kiegészítő szögeik is egyenlők: \(\displaystyle PND\angle=AED\angle\). Ezért \(\displaystyle PND\angle+PCD\angle=180^{\circ}\), és így a \(\displaystyle PNDC\) négyszög is húrnégyszög (4. ábra).

4. ábra

A köré írt körben \(\displaystyle NDP\angle\) és \(\displaystyle NCP\angle\) azonos ívhez tartozó kerületi szögek, tehát egyenlők. \(\displaystyle NDP\angle=NDE\angle=NBE\angle\), mert az utóbbi két szög a \(\displaystyle BM\) átmérőjű körben azonos ívhez tartozó kerületi szög. Így \(\displaystyle NCA\angle=NCP\angle=NBE\angle=NBA\angle\), ez pedig azt jelenti, hogy az \(\displaystyle N\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszög köréírt körére esik, az \(\displaystyle ABCN\) négyszög is húrnégyszög (5. ábra).

Legyen az \(\displaystyle MN\) egyenes metszéspontja az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körével a \(\displaystyle Q\) pont. Mivel \(\displaystyle BNQ\angle=90^{\circ}\), ezért \(\displaystyle BQ\) ennek a körnek átmérője, így \(\displaystyle BAQ\angle=BCQ\angle=90^{\circ}\). \(\displaystyle AQ\) és \(\displaystyle EC\) merőlegesek \(\displaystyle AB\)-re, ezért párhuzamosak egymással. Hasonlóan \(\displaystyle QC\parallel AD\). Tehát \(\displaystyle AQCM\) paralelogramma. Mivel átlói felezik egymást, így \(\displaystyle QM\) és ezzel együtt \(\displaystyle MN\) átmegy \(\displaystyle AC\) felezőpontján, vagyis az \(\displaystyle FN\) egyenes merőleges \(\displaystyle PB\) oldalra. Ezt akartuk belátni.

5. ábra

Diszkusszió. Ha a háromszög \(\displaystyle B\)-nél derékszögű, akkor nem jön létre a \(\displaystyle DE\) egyenes. Ha \(\displaystyle AB=BC\), akkor \(\displaystyle ED||AC\), nem jön létre a \(\displaystyle P\) pont. Végül, ha a háromszög \(\displaystyle A\)-nál vagy \(\displaystyle C\)-nél derékszögű, akkor nem jön létre a \(\displaystyle PM\) egyenes.

Statisztika:

48 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andó Angelika, Cseh Kristóf, Csorba Benjámin, Fuisz Gábor, Horváth András János, Kocsis Júlia, Kondákor Márk, Nagy Dávid Paszkál, Polgár Márton, Szabó 417 Dávid, Vágó Ákos, Váli Benedek.
4 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Hansel Soma, Imolay András, Kerekes Anna, Kovács 711 Bálint, Lajkó Kálmán, Lakatos Ádám, Matolcsi Dávid, Molnár-Sáska Zoltán, Németh 123 Balázs, Schrettner Bálint, Szabó Kristóf, Szemerédi Levente, Varsányi András.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2016. áprilisi matematika feladatai