 |
A B. 4800. feladat (2016. május) |
B. 4800. Adott a \(\displaystyle BC\) egyenesen a \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontjától különböző \(\displaystyle T\) pont. A \(\displaystyle T\) középpontú \(\displaystyle k\) kör a \(\displaystyle T\)-ben \(\displaystyle BC\)-re állított merőlegest \(\displaystyle A\)-ban, az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) egyeneseket pedig a \(\displaystyle K\), illetve az \(\displaystyle L\) pontokban metszi. Legyen \(\displaystyle k\) és az \(\displaystyle ABC\) köréírt kör \(\displaystyle A\)-tól különböző metszéspontja \(\displaystyle M\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle KL\), \(\displaystyle AM\) és \(\displaystyle BC\) egyenesek egy ponton mennek át.
Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. A megoldás során irányított (modulo \(\displaystyle 180^\circ\)) szögekkel fogunk számolni.
Jelöljük az \(\displaystyle ABCM\) kört \(\displaystyle c\)-vel. Legyen \(\displaystyle A\) tükörképe a \(\displaystyle BC\) egyenesre \(\displaystyle D\), az \(\displaystyle AM\) és \(\displaystyle BC\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle X\). Azt kell megmutatnunk, hogy \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle KL\) egyenesre esik, avagy \(\displaystyle KXM\sphericalangle = LXM\sphericalangle\).
A feltétel szerint \(\displaystyle A,T,D\) egy egyenesre esik, ami merőleges \(\displaystyle BC\)-re. A \(\displaystyle c\) körben \(\displaystyle AD\) átmérő, emiatt \(\displaystyle AKD\sphericalangle = ALD\sphericalangle = AMD\sphericalangle = 90^\circ\). A \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\), \(\displaystyle M\), \(\displaystyle T\) pontoknál levő derékszögek miatt a \(\displaystyle T,D,B,K\), a \(\displaystyle T,D,C,L\) és a \(\displaystyle T,D,M,X\) pontnégyesek egy-egy körön vannak. (Az ábrán ezt a három kört jelöltük zöld színnel.)
Az \(\displaystyle ATD\) szakasz a három zöld körnek közös szelője; az \(\displaystyle A\) pontnak a három zöld körre vonatkozó hatványa \(\displaystyle AT \cdot AD = AB \cdot AK\), \(\displaystyle AT \cdot AD = AC \cdot AL\), illetve \(\displaystyle AT \cdot AD = AM \cdot AX\). Ebből következik, hogy \(\displaystyle AB\cdot AK = AM \cdot AX\) és \(\displaystyle AC \cdot AL = AM \cdot AX\); a szelőtétel megfordítása miatt a \(\displaystyle B,K,M,X\) és az \(\displaystyle C,L,M,X\) pontnégyesek is egy-egy körön vannak (piros körök).
A piros körökben és a \(\displaystyle c\) körben alkalmazva a kerületi szögek tételét:
\(\displaystyle KXM \sphericalangle = KBM \sphericalangle = ABM \sphericalangle = ACM \sphericalangle = LCM \sphericalangle = LXM \sphericalangle. \)
Alternatív befejezés: Mivel \(\displaystyle AB\cdot AK = AC\cdot AL\), a \(\displaystyle B,C,K,L\) pontok is egy körön vannak (kék kör). A \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle KL\) és \(\displaystyle AM\) egyenesek épp a \(\displaystyle k\), a \(\displaystyle c\) és a kék kör páronként vett hatványvonalai.
Megjegyzés. Az \(\displaystyle A\) középpontú, \(\displaystyle \sqrt2\cdot AT\) sugarú körre invertálva, az inverzió pólusán átmenő \(\displaystyle c=BCM\) kör képe éppen a \(\displaystyle KLX\) egyenes.
Statisztika:
44 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Andó Angelika, Horváth András János, Janzer Orsolya Lili, Klász Viktória, Matolcsi Dávid, Nagy Dávid Paszkál, Németh 123 Balázs, Polgár Márton, Schrettner Bálint, Szemerédi Levente. 4 pontot kapott: Baran Zsuzsanna, Bukva Balázs, Cseh Kristóf, Döbröntei Dávid Bence, Fuisz Gábor, Gáspár Attila, Glattfelder Hanna, Hansel Soma, Harsányi Benedek, Imolay András, Kerekes Anna, Keresztfalvi Bálint, Kocsis Júlia, Kovács 162 Viktória, Lakatos Ádám, Tóth Viktor, Váli Benedek, Vári-Kakas Andor. 3 pontot kapott: 13 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai