A B. 4806. feladat (2016. szeptember)

B. 4806. Adott egy $\displaystyle K$ körlemez, és rajta két pont, amelyek távolsága nagyobb, mint $\displaystyle 2$ egység. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle K$-ban van olyan, egységsugarú körlemez, amely a két pont egyikét sem tartalmazza.

Javasolta: Károlyi Gyula (Budajenő)

(3 pont)

A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A körlemezt középpontosan kicsinyíthetjük először az egyik pontból úgy, hogy a másik pont a kapott ($\displaystyle K$-ban fekvő) $\displaystyle K_{(1)}$ körlemez kerületére essen. Utána $\displaystyle K_{(1)}$-et kicsinyíthetjük ebből a kerületén levő pontból úgy, hogy a kapott — $\displaystyle K_{(1)}$-ben fekvő — $\displaystyle K_{(2)}$ körnek a másik pont is a kerületén legyen. A $\displaystyle K_{(2)}$ körlemez sugara $\displaystyle r>1$, mivel benne az adott két pont távolsága 2-nél nagyobb. Így $\displaystyle K_{(2)}$-t a középpontjából $\displaystyle 1/r$ arányban kicsinyítve egy kívánt egységsugarú körlemezhez jutunk.

Statisztika:

161 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	86 versenyző.
2 pontot kapott:	29 versenyző.
1 pontot kapott:	23 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai