A B. 4806. feladat (2016. szeptember)

B. 4806. Adott egy \(\displaystyle K\) körlemez, és rajta két pont, amelyek távolsága nagyobb, mint \(\displaystyle 2\) egység. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle K\)-ban van olyan, egységsugarú körlemez, amely a két pont egyikét sem tartalmazza.

Javasolta: Károlyi Gyula (Budajenő)

(3 pont)

A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A körlemezt középpontosan kicsinyíthetjük először az egyik pontból úgy, hogy a másik pont a kapott (\(\displaystyle K\)-ban fekvő) \(\displaystyle K_{(1)}\) körlemez kerületére essen. Utána \(\displaystyle K_{(1)}\)-et kicsinyíthetjük ebből a kerületén levő pontból úgy, hogy a kapott — \(\displaystyle K_{(1)}\)-ben fekvő — \(\displaystyle K_{(2)}\) körnek a másik pont is a kerületén legyen. A \(\displaystyle K_{(2)}\) körlemez sugara \(\displaystyle r>1\), mivel benne az adott két pont távolsága 2-nél nagyobb. Így \(\displaystyle K_{(2)}\)-t a középpontjából \(\displaystyle 1/r\) arányban kicsinyítve egy kívánt egységsugarú körlemezhez jutunk.

Statisztika:

161 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	86 versenyző.
2 pontot kapott:	29 versenyző.
1 pontot kapott:	23 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai