A B. 4807. feladat (2016. szeptember)

B. 4807. Az egységnyi területű, $\displaystyle ABC$ derékszögű háromszög oldalaira kifelé rajzoljunk négyzeteket. Ezek középpontjai legyenek a $\displaystyle D$, $\displaystyle E$ és $\displaystyle F$ pontok. Bizonyítsuk be, hogy a $\displaystyle DEF$ háromszög területe legalább két egység.

(Kvant)

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Legyenek $\displaystyle A_1$, $\displaystyle B_1$, $\displaystyle C_1$ rendre a $\displaystyle BC$, $\displaystyle AC$, $\displaystyle AB$ oldalak felezőpontjai. A háromszög két befogójának hossza: $\displaystyle BC=a$, $\displaystyle AC=b$.

$\displaystyle B_1C_1=CA_1=\frac a2$, $\displaystyle A_1C_1=CB_1=\frac b2$, mert középvonalak, $\displaystyle ACB\angle$ derékszög, ezért a $\displaystyle CA_1C_1B_1$ négyszög téglalap.

$\displaystyle B_1EC$ és $\displaystyle A_1CD$ egyenlő szárú derékszögű háromszögek, így $\displaystyle B_1E=B_1C=\frac b2$ és $\displaystyle A_1D=A_1C=\frac a2$. Ekkor $\displaystyle C_1 E=C_1 B_1+B_1 E=\frac{a+b}{2}=A_1 D+A_1 C_1=C_1 D$. Tehát $\displaystyle C_1 ED$ is egyenlő szárú derékszögű háromszög, átfogója: $\displaystyle DE=\sqrt2\cdot C_1 E=\sqrt2\cdot\frac{a+b}{2}=\frac{a+b}{\sqrt2}$.

$\displaystyle \frac{AC}{AE}=\frac{AF}{AC_1} =\sqrt2$ és $\displaystyle CAF\angle=CAB\angle+45^{\circ}=EAC_1\angle$. Ezért a $\displaystyle CAF$ és az $\displaystyle EAC_1$ háromszögben két oldal aránya és az általuk bezárt szög megegyezik, ezért hasonlóak és a hasonlóság aránya $\displaystyle \sqrt2$. Így $\displaystyle CF=\sqrt2\cdot C_1 E=\frac{a+b}{\sqrt 2}$. A hasonlóságból az is következik, hogy a $\displaystyle CF$ és $\displaystyle EC_1$ szakaszok egyenese által bezárt szög megegyezik az $\displaystyle AC$ és $\displaystyle AE$ szakaszok egyenese által bezárt szöggel, ami $\displaystyle 45^{\circ}$. Mivel $\displaystyle C_1 ED=45^{\circ}$, ezért ezekből $\displaystyle CF\perp DE$ következik. Tehát $\displaystyle CF$ a $\displaystyle DEF$ háromszög magassága, így $\displaystyle T_{DEF}=\frac12\cdot DE\cdot CF=\frac12\cdot \frac{a+b}{\sqrt2}\cdot \frac{a+b}{\sqrt2}=\frac{(a+b)^2}{4}\geq ab=2\cdot T_{ABC}$.

Statisztika:

169 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	122 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai