 |
A B. 4807. feladat (2016. szeptember) |
B. 4807. Az egységnyi területű, \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög oldalaira kifelé rajzoljunk négyzeteket. Ezek középpontjai legyenek a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontok. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle DEF\) háromszög területe legalább két egység.
(Kvant)
(4 pont)
A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Legyenek \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle C_1\) rendre a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle AC\), \(\displaystyle AB\) oldalak felezőpontjai. A háromszög két befogójának hossza: \(\displaystyle BC=a\), \(\displaystyle AC=b\).
\(\displaystyle B_1C_1=CA_1=\frac a2\), \(\displaystyle A_1C_1=CB_1=\frac b2\), mert középvonalak, \(\displaystyle ACB\angle\) derékszög, ezért a \(\displaystyle CA_1C_1B_1\) négyszög téglalap.
\(\displaystyle B_1EC\) és \(\displaystyle A_1CD\) egyenlő szárú derékszögű háromszögek, így \(\displaystyle B_1E=B_1C=\frac b2\) és \(\displaystyle A_1D=A_1C=\frac a2\). Ekkor \(\displaystyle C_1 E=C_1 B_1+B_1 E=\frac{a+b}{2}=A_1 D+A_1 C_1=C_1 D\). Tehát \(\displaystyle C_1 ED\) is egyenlő szárú derékszögű háromszög, átfogója: \(\displaystyle DE=\sqrt2\cdot C_1 E=\sqrt2\cdot\frac{a+b}{2}=\frac{a+b}{\sqrt2}\).
\(\displaystyle \frac{AC}{AE}=\frac{AF}{AC_1} =\sqrt2\) és \(\displaystyle CAF\angle=CAB\angle+45^{\circ}=EAC_1\angle\). Ezért a \(\displaystyle CAF\) és az \(\displaystyle EAC_1\) háromszögben két oldal aránya és az általuk bezárt szög megegyezik, ezért hasonlóak és a hasonlóság aránya \(\displaystyle \sqrt2\). Így \(\displaystyle CF=\sqrt2\cdot C_1 E=\frac{a+b}{\sqrt 2}\). A hasonlóságból az is következik, hogy a \(\displaystyle CF\) és \(\displaystyle EC_1\) szakaszok egyenese által bezárt szög megegyezik az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle AE\) szakaszok egyenese által bezárt szöggel, ami \(\displaystyle 45^{\circ}\). Mivel \(\displaystyle C_1 ED=45^{\circ}\), ezért ezekből \(\displaystyle CF\perp DE\) következik. Tehát \(\displaystyle CF\) a \(\displaystyle DEF\) háromszög magassága, így \(\displaystyle T_{DEF}=\frac12\cdot DE\cdot CF=\frac12\cdot \frac{a+b}{\sqrt2}\cdot \frac{a+b}{\sqrt2}=\frac{(a+b)^2}{4}\geq ab=2\cdot T_{ABC}\).
Statisztika:
169 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 122 versenyző. 3 pontot kapott: 21 versenyző. 2 pontot kapott: 10 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 9 versenyző.
A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai