A B. 4809. feladat (2016. szeptember)

B. 4809. Piroska a számegyenes mindegyik pontját vagy kékre vagy pirosra festi. Lilla egy pontot lilának lát, ha ahhoz tetszőlegesen közel található tőle eltérő kék és piros pont is. Lehetséges-e, hogy Lilla

\(\displaystyle a)\) a teljes számegyenest,

\(\displaystyle b)\) pontosan az egész számokat,

\(\displaystyle c)\) pontosan a racionális számokat látja lilának?

Javasolta: Maga Balázs (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Ha Piroska a racionális számokat pirosra, az irracionális számokat pedig kékre színezi, akkor Lilla minden valós számot lilának lát, hiszen tetszőleges nemüres nyílt intervallumban található racionális és irracionális szám is. Vagyis előfordulhat, hogy Lilla a teljes számegyenest lilának látja.
b) Megmutatjuk. hogy ha Piroska pontosan azokat a számokat színezi pirosra, amelyek törtrésze egy pozitív egész szám reciproka, akkor Lilla éppen az egész számokat fogja lilának látni. Ha ugyanis \(\displaystyle n\) egy egész szám, akkor mivel az \(\displaystyle n+\frac{1}{k}\) alakú számok pirosak, ezért \(\displaystyle n\)-hez tetszőlegesen közel van piros szám. Ugyanakkor az irracionális számok továbbra is kékek, így \(\displaystyle n\)-hez tetszőlegesen közel található kék szám is. Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle a\) egy olyan valós szám, ami nem egész. Legyen \(\displaystyle a\) törtrésze \(\displaystyle \alpha\ne 0\). Ha \(\displaystyle a\)-hoz bármilyen közel lenne tőle különböző piros pont, akkor bármilyen kicsi környezetében végtelen sok piros pontnak kellene lennie. Azok a piros pontok, amelyeknek az egészrésze nem \(\displaystyle [a]\), legalább \(\displaystyle \min(\alpha,1-\alpha)\) távolságra vannak \(\displaystyle a\)-tól. Az \(\displaystyle [a]+\frac{1}{k}\) alakú piros pontok közül (vagyis azok közül, amelyek egészrésze \(\displaystyle [a]\)) azok, amelyekre \(\displaystyle k>\frac{2}{\alpha}\), legalább \(\displaystyle \alpha/2\) távolságra vannak \(\displaystyle a\)-tól, hiszen

\(\displaystyle a-\left([a]+\frac{1}{k} \right)=\{a\}-\frac{1}{k}>\alpha-\alpha/2=\alpha/2.\)

Ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle a\) számhoz \(\displaystyle \min(\alpha/2,1-\alpha)\)-nál (ami egy pozitív szám) közelebb csak véges sok piros lehet, így \(\displaystyle a\)-t nem látja lilának Lilla. Tehát valóban lehetséges, hogy Lilla pontosan az egész számokat látja lilának.
c) Tegyük fel, hogy Lilla minden racionális számot lilának lát. Megmutatjuk, hogy ilyenkor minden irracionális számot is lilának lát. Legyen \(\displaystyle a\) tetszőleges irracionális szám, \(\displaystyle \varepsilon\) pedig tetszőleges pozitív szám. Azt kell megmutatnunk, hogy az \(\displaystyle (a-\varepsilon,a+\varepsilon)\) intervallumban van (\(\displaystyle a\)-tól különböző) piros szám és (\(\displaystyle a\)-tól különböző) kék szám is. Legyen \(\displaystyle b\) egy racionális szám \(\displaystyle (a+\varepsilon/3,a+2\varepsilon/3)\) intervallumban. Mivel \(\displaystyle b\)-t lilának látja Lilla, ezért van piros és kék szám is \(\displaystyle b\)-től kevesebb, mint \(\displaystyle \varepsilon/3\) távolságra. Ezek olyan (piros, illetve kék színű) pontok, amelyek különböznek \(\displaystyle a\)-tól, de tőle kevesebb, mint \(\displaystyle \varepsilon\) távolságra vannak, és éppen ilyen számok létezését akartuk igazolni. Tehát, ha Lilla minden racionális számot lilának lát, akkor az irracionálisakat is annak látja, így nem fordulhat elő, hogy pontosan a racionálisakat látja lilának.

Statisztika:

159 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andó Angelika, Balázs Ákos Miklós, Baran Zsuzsanna, Bindics Boldizsár, Döbröntei Dávid Bence, Gál Hanna, Gáspár Attila, Gergely Patrik, Harsányi Benedek, Hoffmann Balázs, Kerekes Anna, Klász Viktória, Kovács 246 Benedek, Krausz Gergely, Matolcsi Dávid, Nagy Nándor, Páli Petra, Saár Patrik, Schrettner Bálint, Szemerédi Levente, Tanács Viktória, Tiszay Ádám, Tóth Viktor, Vágó Ákos, Vankó Miléna, Zólomy Kristóf.
4 pontot kapott:	62 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	28 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai