 |
A B. 4811. feladat (2016. szeptember) |
B. 4811. Igazoljuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle 0<a_1<a_2<\ldots<a_n\) egész számok esetén
\(\displaystyle \frac1{a_1} + \frac1{[a_1,a_2]} + \frac1{[a_1,a_2,a_3]} + \ldots + \frac1{[a_1,a_2,\ldots,a_n]} < 2, \)
ahol a \(\displaystyle [\dots]\) szimbólum a legkisebb közös többszöröst jelöli.
(6 pont)
A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Először megmutatjuk, hogy minden \(\displaystyle k\ge2\)-re
| \(\displaystyle \frac1{[a_1,\ldots,a_k]} \le \frac1{a_{k-1}}-\frac1{a_k}. \) | \(\displaystyle (1) \) |
A feltétel szerint \(\displaystyle 0<a_{k-1}<a_k\), így (1) jobboldala biztosan pozitív. Az \(\displaystyle [a_1,\ldots,a_k]\) szám közös többszöröse az \(\displaystyle a_{k-1}\) és \(\displaystyle a_k\) számoknak. Tehát, a kivonást elvégezve, a \(\displaystyle \frac1{a_{k-1}}-\frac1{a_k}\) egy olyan tört, amelynek számlálója legalább \(\displaystyle 1\), nevezője pedig legfeljebb \(\displaystyle [a_1,\ldots,a_k]\). Ez igazolja (1)-et.
A feladat állításában a baloldalon álló tagokra az (1) becslést alkalmazva,
\(\displaystyle \frac1{a_1} + \frac1{[a_1,a_2]} + \frac1{[a_1,a_2,a_3]} + \ldots + \frac1{[a_1,a_2,\ldots,a_n]} \le \)
\(\displaystyle \le \frac1{a_1} +\bigg(\frac1{a_1}-\frac1{a_2}\bigg) +\bigg(\frac1{a_2}-\frac1{a_3}\bigg) +\ldots +\bigg(\frac1{a_{n-1}}-\frac1{a_n}\bigg) = \)
\(\displaystyle = \frac2{a_1} -\frac1{a_n} < 2. \)
Statisztika:
82 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Ardai István Tamás, Bege Áron, Borbényi Márton, Csahók Tímea, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Gyimesi Péter, Imolay András, Kerekes Anna, Keresztes László, Keresztfalvi Bálint, Klász Viktória, Kovács 246 Benedek, Kővári Péter Viktor, Matolcsi Dávid, Nagy Nándor, Noszály Áron, Schrettner Bálint, Schrettner Jakab, Sokvári Olivér, Souly Alexandra, Szabó Kristóf, Szajbély Sámuel, Szemerédi Levente, Tóth Viktor. 5 pontot kapott: Bereczki Ádám, Egri Máté, Kocsis Júlia, Kőrösi Ákos, Mályusz Attila, Márton Dénes, Póka Lili , Saár Patrik, Tóth 417 Ádám. 4 pontot kapott: 5 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 20 versenyző. 0 pontot kapott: 15 versenyző.
A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai