A B. 4825. feladat (2016. november)

B. 4825. Vágjuk fel az ábrán látható konkáv hatszöget egy folytonos vágással két egybevágó darabra. Igazoljuk megoldásunk helyességét. (Az $\displaystyle ABCD$ négyzet oldala egységnyi, az $\displaystyle AEF$ egyenlőszárú háromszög alapja két egység, szárszöge $\displaystyle 135^\circ$.)

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Az $\displaystyle ABC$ derékszögű töröttvonalat forgassuk el $\displaystyle C$ körül $\displaystyle 90^{\circ}$-kal az óramutató járásával megegyező irányban, így épp a $\displaystyle CDE$ töröttvonalba kerül. Ez adja az ötletet, hogy próbálkozzunk a $\displaystyle 45^{\circ}$-os forgatottja mentén vágni. Csak azt kell meggondolni, hogy az $\displaystyle A$ pont $\displaystyle 45^{\circ}$-kal elforgatott képe éppen $\displaystyle F$, onnan a bizonyítás triviális.

Megjegyzés. Sokan elkövették azt a hibát, hogy nem bizonyították a felbontáskor kapott két ötszög egybevágóságának pontos feltételét. Sokan csak azt látták be, hogy a megfelelő szögek megegyeznek, és hogy egy oldalpár azonos hosszú – arra hivatkozva, hogy a szögek egyezősége miatt az alakzatok hasonlóak, és az azonos oldal miatt egybevágóak is. Ez az állítás háromszögeknél igaz, de nagyobb oldalszámú síkidomokra nem. (Könnyen látható, hogy például a téglalapokra nem igaz).

Statisztika:

87 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	56 versenyző.
3 pontot kapott:	22 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2016. novemberi matematika feladatai