A B. 4826. feladat (2016. november)

B. 4826. Az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ körök az egymástól különböző $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ pontokban metszik egymást, és legyen az $\displaystyle A_0$ pont az $\displaystyle a$ körön. Definiáljuk sorra a $\displaystyle B_0$, $\displaystyle A_1$, $\displaystyle B_1$, $\displaystyle A_2$ stb. pontokat úgy, hogy $\displaystyle B_i$ az $\displaystyle A_iP$ egyenes és $\displaystyle b$ metszéspontja, majd $\displaystyle A_{i+1}$ a $\displaystyle B_iQ$ egyenes és $\displaystyle a$ metszéspontja. (Ha $\displaystyle A_i = P$, akkor $\displaystyle A_iP$ egyenes alatt az $\displaystyle a$ kör $\displaystyle P$-beli érintőjét értjük, illetve $\displaystyle B_i = Q$ esetén $\displaystyle B_iQ$ egyenes a $\displaystyle b$ kör $\displaystyle Q$-beli érintője.) Mutassuk meg, hogy ha van olyan $\displaystyle A_n$ ($\displaystyle n\ge 2$), amelyre $\displaystyle A_0$ és $\displaystyle A_n$ egybeesik, akkor ez az $\displaystyle a$ kör bármely $\displaystyle A_0$ pontjára teljesül.

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle A_iPA_i'\sphericalangle = B_iPB_i'\sphericalangle$ és $\displaystyle A_{i+1}QA_{i+1}'\sphericalangle = B_iQB_i'\sphericalangle$ csúcsszögek, továbbá a kerületi szögek tétele szerint $\displaystyle B_iQB_i'\sphericalangle = B_iPB_i'\sphericalangle$; így $\displaystyle A_{i+1}QA_{i+1}'\sphericalangle = A_iPA_i'\sphericalangle$. (Hasonló jellegű összefüggések állapíthatók meg a pontok más kölcsönös elhelyezkedése esetén is.) A kerületi szögek tételének megfordításával a megfelelő körívek irányított hosszára $\displaystyle \overset{\curvearrowright}{A_iA_i'} = \overset{\curvearrowright}{A_{i+1}A_{i+1}'}$, ezért

$\displaystyle \overset{\curvearrowright}{A_iA_{i+1}} = \overset{\curvearrowright}{A_iA_i'} + \overset{\curvearrowright}{A_i'A_{i+1}} = \overset{\curvearrowright}{A_i'A_{i+1}} + \overset{\curvearrowright}{A_{i+1}A_{i+1}'} = \overset{\curvearrowright}{A_i'A_{i+1}'}\,,$

amiből már egyszerűen következik a feladat állítása .

Statisztika:

57 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Csertán András, Döbröntei Dávid Bence, Fraknói Ádám, Fülöp Anna Tácia, Gáspár Attila, Geretovszky Anna, Győrffy Ágoston, Hansel Soma, Imolay András, Karácsony Márton, Kerekes Anna, Keresztfalvi Bálint, Klász Viktória, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Kőrösi Ákos, Kővári Péter Viktor, Lakatos Ádám, Marshall Tamás, Martinák Zalán, Nagy Dávid Paszkál, Nagy Nándor, Pap Benedek, Schrettner Bálint, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szécsényi Nándor, Szemerédi Levente, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Tran 444 Ádám, Vankó Miléna, Vári-Kakas Andor, Velkey Vince, Weisz Máté.
3 pontot kapott:	Hoffmann Balázs, Márton Dénes, Mazug Péter, Olosz Adél, Tanács Viktória, Tóth Viktor, Tubak Dániel, Zsigri Bálint.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. novemberi matematika feladatai