A B. 4828. feladat (2016. november)

B. 4828. Legyen \(\displaystyle 0<x_1<x_2<\ldots<x_n<2\pi\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle \sum_{i,j=1;\; i\ne j}^n \frac{1}{|x_i-x_j|}+\frac{1}{2\pi-|x_i-x_j|}\ge \frac{n^2}{\pi}\sum_{k=1}^{n-1} \frac 1k. \)

Mikor teljesül egyenlőség?

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyünk fel egy egységsugarú körön \(\displaystyle n\) pontot úgy, hogy azok a körvonal egy rögzített pontjától (pozitív körüljárás szerint) rendre \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_n\) távolságra legyenek. A körvonalat ezek a pontok \(\displaystyle n\) ívre osztják fel, melyek hossza legyen sorrendben: \(\displaystyle l_1,l_2,\dots,l_n\). Vezessük be az \(\displaystyle l_{n+i}=l_i\) jelölést (\(\displaystyle 1\leq i\leq n-2\)). A bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldalán szereplő kifejezés a következő módon is írható:

\(\displaystyle 2\sum\limits_{a=1}^{n-1}\sum\limits_{b=1}^n \frac{1}{l_b+l_{b+1}+\dots+l_{b+a-1}}.\)

Az \(\displaystyle l_b+l_{b+1}+\dots+l_{b+a-1}\) számokra (\(\displaystyle 1\leq b\leq n\)) alkalmazva a számtani és a harmonikus közepek közötti egyenlőtlenséget a következő becslést kapjuk:

\(\displaystyle \sum\limits_{b=1}^n \frac{1}{l_b+l_{b+1}+\dots+l_{b+a-1}}\geq \frac{n^2}{ \sum\limits_{b=1}^n (l_b+l_{b+1}+\dots+l_{b+a-1}) } =\frac{n^2}{2\pi a}. \)

A kapott becslést \(\displaystyle 1\leq a\leq n-1\)-re összegezve éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.

Statisztika:

29 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Hansel Soma, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Klász Viktória, Kővári Péter Viktor, Matolcsi Dávid, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Noszály Áron, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szemerédi Levente, Tóth Viktor.
5 pontot kapott:	Csertán András, Szabó Kristóf.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2016. novemberi matematika feladatai