A B. 4831. feladat (2016. december)

B. 4831. ,,Zsebszámológépünkkel'' csak összeadni, kivonni és reciprokot képezni tudunk. Megkaphatjuk-e az 1-et eredményül, ha a kiindulási szám \(\displaystyle \sqrt{20}\,+16\)? (A számolás során a kiindulási számot és minden részeredményt külön tárolóban tudunk tárolni és azokat többször is felhasználhatjuk.)

Javasolta: Kiss Sándor (Nyíregyháza)

(3 pont)

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy igen. Legyen \(\displaystyle a=\sqrt{20}+16\). Ki tudjuk számolni ennek reciprokát is, amelynek nevezőjét gyöktelenítve a következőket kapjuk:

\(\displaystyle b:=\frac{1}{\sqrt{20}+16}=\frac{16-\sqrt{20}}{(16+\sqrt{20})(16-\sqrt{20})}=\frac{16-\sqrt{20}}{236}.\)

Ezután sorra kiszámolhatjuk \(\displaystyle b+b,(b+b)+b, \dots\) értékét, egészen addig, amíg – 235 darab összeadás után – eljutunk \(\displaystyle c:=236b= 16-\sqrt{20}\)-ig. Most adjuk össze \(\displaystyle a\)-t és \(\displaystyle c\)-t:

\(\displaystyle d:=a+c=\sqrt{20}+16+16-\sqrt{20}=32.\)

Most \(\displaystyle d\) reciprokát véve megkapjuk \(\displaystyle e=1/32\)-et, majd sorra kiszámolva az \(\displaystyle e+e, (e+e)+e,\dots \) értékeket 31 újabb összeadás után eljutunk a \(\displaystyle 32e=1\) számhoz. (Ha \(\displaystyle e+e\) kiszámítása után \(\displaystyle (e+e)+(e+e)=4e\), majd sorra \(\displaystyle 8e=4e+4e, 16e=8e+8e,32e=16e+16e\) kiszámításával folytatjuk, akkor 5 összeadás is elég. Ugyanezen az elven \(\displaystyle c=236b\) is gyorsabban megkapható \(\displaystyle b\)-ből.) Ezzel megmutattuk, hogy valóban megkaphatjuk az 1-et.

Megjegyzés. Kivonást nem használtunk.

Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	86 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai