A B. 4834. feladat (2016. december)

B. 4834. Legyen az $\displaystyle ABC$ hegyesszögű háromszög köréírt körének középpontja a $\displaystyle K$ pont. A $\displaystyle K$-n keresztül $\displaystyle AB$-vel húzott párhuzamos egyenes a $\displaystyle BC$ egyenest a $\displaystyle D$, a $\displaystyle CA$ egyenest pedig az $\displaystyle E$ pontban metszi. Hasonlóan, a $\displaystyle K$-n keresztül a $\displaystyle BC$-vel húzott párhuzamosnak a $\displaystyle CA$ egyenessel vett metszéspontja az $\displaystyle F$, a $\displaystyle BA$ egyenessel vett metszéspontja pedig a $\displaystyle G$ pont. Igazoljuk, hogy az $\displaystyle E$ középpontú $\displaystyle EA$ sugarú, az $\displaystyle F$ középpontú $\displaystyle FC$ sugarú, valamint az $\displaystyle ABC$ háromszög köré írt kör egy pontban metszik egymást.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük az ábra alapján az $\displaystyle ABK$ egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögeit $\displaystyle δ$-val, a $\displaystyle BCK$ egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögeit pedig $\displaystyle ε$-nal.

Mivel $\displaystyle ED‖AB$, azért BAK∡=AKE∡=δ és ABK∡=BKD∡=δ, mert váltószögek.

Hasonlóan, mivel GF‖BC, azért CBK∡=BKG∡=ε és BCK∡=CKF∡=ε, mert váltószögek.

Legyen a K középpontú KA=R sugarú és az E középpontú EA=r sugarú körök metszéspontja M.

Ekkor az AKEΔ és az MKEΔ egybevágó, mert EK oldaluk közös, KA=KM=R és EA=EM=r. Ezért EKM∡=AKE∡=δ.

Mivel GKD∡=δ+ε=EKF∡, mert csúcsszögek, így MKF∡=EKF∡-δ=ε.

Az MKFΔ és a CKFΔ egybevágó, mert KF oldaluk közös, KM=KC=R és MKF∡=CKF∡=ε, így megegyeznek két oldalban és a közbezárt szögben.

Az egybevágóság miatt FM=FC, így M pont rajta van az F középpontú FC sugarú körön is, vagyis a három kör egy pontban metszi egymást.

Statisztika:

73 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	65 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai