A B. 4837. feladat (2016. december)

B. 4837. Határozzuk meg az összes \(\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) függvényt, amelyre

\(\displaystyle (x+1)\cdot f(x+2)-2(x+2)\cdot f(-x-1)=3x^2+8x+3. \)

Javasolta: Szöllősy György (Máramarossziget)

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle y\) tetszőleges valós szám, és írjuk fel a függvényegyenletet \(\displaystyle x=y-2\)-re és \(\displaystyle x=-y-1\)-re:

\(\displaystyle (y-1)f(y)-2yf(1-y)=3(y-2)^2+8(y-2)+3,\)

\(\displaystyle -yf(1-y)-2(1-y)f(y)=3(-y-1)^2+8(-y-1)+3.\)

Az első egyenletből a második egyenlet \(\displaystyle 2\)-szeresét kivonva az \(\displaystyle f(1-y)\)-t tartalmazó tagok kiejtik egymást:

\(\displaystyle -3(y-1)f(y)= 3(y-2)^2+8(y-2)+3-2(3(-y-1)^2+8(-y-1)+3).\)

A kapott egyenlet jobb oldalán bontsuk fel a zárójeleket, és a kapott kifejezést alakítsuk szorzattá:

\(\displaystyle 3(y-2)^2+8(y-2)+3-2(3(-y-1)^2+8(-y-1)+3)= -3y^2+3 =-3(y+1)(y-1).\)

Azt kaptuk tehát, hogy minden \(\displaystyle y\)-ra \(\displaystyle -3(y-1)f(y)=-3(y+1)(y-1)\). Ha \(\displaystyle y\ne 1\), akkor ebből következik, hogy \(\displaystyle f(y)=y+1\).

Az eredeti függvényegyenletben \(\displaystyle f(1)\) csak két esetben jelenik meg: ha \(\displaystyle x=-1\) vagy \(\displaystyle x=-2\).
Ha \(\displaystyle x=-1\), akkor az egyenlet:

\(\displaystyle 0\cdot f(1)-2f(0)=-2,\)

ami teljesül, ha \(\displaystyle f(0)=0+1=1\).
Ha \(\displaystyle x=-2\), akkor az egyenlet:

\(\displaystyle -f(0)-2\cdot 0\cdot f(1)=-1,\)

ami szintén teljesül, ha \(\displaystyle f(0)=0+1=1\). Azt kaptuk tehát, hogy \(\displaystyle f(1)\) értéke bármi lehet, már csak azt kell ellenőriznünk, hogy ha az \(\displaystyle f\) függvényre \(\displaystyle f(x)=x+1\) teljesül minden \(\displaystyle x\ne 1\) esetén, akkor kielégíti a függvényegyenletet bármely \(\displaystyle x\ne -1,-2\) esetén is. Behelyettesítve \(\displaystyle f(x)=x+1\)-et:

\(\displaystyle (x+1)(x+3)-2(x+2)(-x)=3x^2+8x+3,\)

ami valóban minden \(\displaystyle x\)-re teljesül.

Tehát a függvényegyenletnek végtelen sok megoldása van: azok a függvények, amelyekre \(\displaystyle f(x)=x+1\), ha \(\displaystyle x\ne 1\), \(\displaystyle f(1)\) értéke pedig bármi lehet.

Megjegyzés. Akinek a megoldásából csak \(\displaystyle f(1)\) értékének meghatározása hiányzott, mert nem ismerte fel, hogy ez az érték nincs meghatározva az egyenlet által, de egyébként helyes a megoldása, az 3 pontot kapott.

Statisztika:

98 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csuha Boglárka, Döbröntei Dávid Bence, Dömsödi Bálint, Fuisz Gábor, Garamvölgyi István Attila, Gáspár Attila, Hansel Soma, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kassai Levente, Klász Viktória, Kovács 246 Benedek, Matolcsi Dávid, Molnár-Sáska Zsófia Eszter, Nagy Dávid Paszkál, Németh 123 Balázs, Páli Petra, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szakály Marcell, Szécsényi Nándor, Szemerédi Levente, Tóth 827 Balázs, Tóth Viktor, Török Zsombor Áron, Velkey Vince, Weisz Máté, Zólomy Kristóf, Zsigri Bálint.
3 pontot kapott:	50 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai