A B. 4838. feladat (2016. december)

B. 4838. A $\displaystyle \mathcal{P}$ középpontosan szimmetrikus, konvex poliéderre teljesül a következő: $\displaystyle \mathcal{P}$ bármely két $\displaystyle X$ és $\displaystyle Y$ csúcsa vagy átellenes, vagy található hozzájuk egy olyan lapja $\displaystyle \mathcal{P}$-nek, ami mindkettőt tartalmazza. Mutassuk meg, hogy ekkor $\displaystyle \mathcal{P}$ vagy paralelepipedon, vagy $\displaystyle \mathcal{P}$ csúcsai éppen egy paralelepipedon lapközéppontjai.

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vezessük be a következő terminológiát: az $\displaystyle X$ pont látja (megvilágítja) a $\displaystyle \cal{P}$ poliéder $\displaystyle F$ lapját/élét/csúcsát, ha $\displaystyle F$ bármely $\displaystyle Y$ pontjával összekötve $\displaystyle X$-t, az $\displaystyle XY$ szakasz csak $\displaystyle Y$-ban metszi $\displaystyle \cal{P}$-t.

Először belátjuk, hogy $\displaystyle \cal{P}$ minden lapja háromszög vagy paralelogramma. Tegyük fel, hogy $\displaystyle \cal{P}$ egyik lapján az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ különböző csúcsok pozitív körüljárás szerint ilyen sorrendben vannak. Legyen $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ centrálszimmetrikus csúcspárja $\displaystyle \cal{P}$-ben $\displaystyle C'$ és $\displaystyle D'$.

Tegyük fel, hogy az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C'$ és $\displaystyle D'$ pontok nincsenek egy síkban. Tekintsük a $\displaystyle CDC'D'A$ gúlát. $\displaystyle B$ rajta van az $\displaystyle ACD$ síkon, a körüljárás miatt $\displaystyle B$ látja az $\displaystyle AC$ élt. Az $\displaystyle AC$ élre illeszkedő lapok közül $\displaystyle B$ nem látja $\displaystyle ACD$-t, ezért látja az $\displaystyle AD'C$ lapot, így viszont a $\displaystyle D'A$ élet is. Ha $\displaystyle B$ látja a $\displaystyle C'D'A$ lapot, akkor $\displaystyle AD'$ az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$, $\displaystyle D$, $\displaystyle C'$ és $\displaystyle D'$ által meghatározott poliéder belsejében, és így egyúttal $\displaystyle \cal{P}$ belsejében halad, ami ellentmond a feltevésnek. Ha $\displaystyle B$ nem látja a $\displaystyle C'D'A$ lapot, és nincs rajta a $\displaystyle C'D'A$ síkon sem, akkor a $\displaystyle BC'$ szakasz halad az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$, $\displaystyle D$, $\displaystyle C'$ és $\displaystyle D'$ által meghatározott poliéder belsejében. Ez sem lehet, így szükségképpen a $\displaystyle C$, $\displaystyle D'$, $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ pontok egy síkra illeszkednek.

Mivel $\displaystyle CDD'C'$ paralelogramma, így $\displaystyle AB\parallel CD$ következik. A gondolatmenetet ismételten alkalmazva adódik, hogy $\displaystyle ABCD$ paralelogramma. Ebből az is következik, hogy $\displaystyle \cal{P}$ minden lapja háromszög vagy paralelogramma.

Tegyük fel, hogy az $\displaystyle ABCD$ paralelogramma $\displaystyle \cal{P}$ egy lapja, $\displaystyle A'B'C'D'$ a tükörképe. Tegyük fel, hogy $\displaystyle X$ a $\displaystyle \cal{P}$ egy további csúcsa. Az $\displaystyle X$ pont látja az $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ paralelepipedon valamelyik lapját, mondjuk $\displaystyle ABCD$-t. Ez viszont azt jelenti, hogy az $\displaystyle AC$ szakasz $\displaystyle \cal{P}$ belsejében halad, ami ellentmond a feltevésnek. Így ha van $\displaystyle \cal{P}$-nek paralelogramma lapja, akkor $\displaystyle \cal{P}$ egy paralelepipedon.

Feltehetjük a továbbiakban, hogy $\displaystyle \cal{P}$ minden lapja háromszög. Ekkor a közös lapra illeszkedő csúcsok szükségképpen éllel vannak összekötve. Ha $\displaystyle \cal{P}$ csúcsainak száma $\displaystyle c$, akkor a feltevés miatt az élek száma $\displaystyle e=c(c-2)/2$. Ebből az Euler-formulát felhasználva kapjuk, hogy a lapok száma $\displaystyle \ell=e-c+2=c^2/2-2c+2$. Mivel minden lap háromszög, így $\displaystyle 2e=3\ell$. Ebből $\displaystyle c$-re másodfokú egyenlet adódik, aminek gyökei $\displaystyle 2$ és $\displaystyle 6$. Utóbbi ad valódi geometriai tartalmú megoldást.

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Kerekes Anna, Nagy Nándor, Schrettner Jakab, Szabó Kristóf, Weisz Máté.
5 pontot kapott:	Csahók Tímea, Döbröntei Dávid Bence, Hansel Soma, Nagy Dávid Paszkál, Németh 123 Balázs, Zólomy Kristóf.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai