A B. 4840. feladat (2017. január)

B. 4840. Mutassuk meg, hogy minden egész szám felírható \(\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}\) alakban alkalmas \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) pozitív egész számokkal.

(3 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle n\) tetszőleges egész szám. Keressünk egy olyan \(\displaystyle n=x^2+y^2-z^2\) előállítást, ahol \(\displaystyle z=y+1\). Ekkor \(\displaystyle n=x^2+y^2-(y+1)^2=x^2-(2y+1)\) alapján az \(\displaystyle n+(2y+1)\) számnak négyzetszámnak kell lennie. Mivel \(\displaystyle y\)-nak pozitív egésznek kell lennie, ezért olyan négyzetszámot keresünk, ami legalább 3-mal nagyobb, mint \(\displaystyle n\), és a paritása különbözik \(\displaystyle n\)-étől. Az \(\displaystyle (n^2+3)^2\) például ilyen. Legyen tehát \(\displaystyle x=n^2+3\), ami valóban pozitív egész, és ekkor \(\displaystyle y\)-ra

\(\displaystyle y=\frac{x^2-n-1}{2}=\frac{n^4+6n^2-n+8}{2}=3n^2+4+\frac{n^4-n}{2}\)

adódik, ami szintén pozitív egész, és így \(\displaystyle z=y+1\) is az. Ezzel a választással \(\displaystyle x^2+y^2-z^2=(n^2+3)^2-(n^4+6n^2-n+8+1)=n\), tehát egy megfelelő előállítást kaptunk.

Statisztika:

120 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	68 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	30 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai