A B. 4840. feladat (2017. január)

B. 4840. Mutassuk meg, hogy minden egész szám felírható $\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}$ alakban alkalmas $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$ pozitív egész számokkal.

(3 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle n$ tetszőleges egész szám. Keressünk egy olyan $\displaystyle n=x^2+y^2-z^2$ előállítást, ahol $\displaystyle z=y+1$. Ekkor $\displaystyle n=x^2+y^2-(y+1)^2=x^2-(2y+1)$ alapján az $\displaystyle n+(2y+1)$ számnak négyzetszámnak kell lennie. Mivel $\displaystyle y$-nak pozitív egésznek kell lennie, ezért olyan négyzetszámot keresünk, ami legalább 3-mal nagyobb, mint $\displaystyle n$, és a paritása különbözik $\displaystyle n$-étől. Az $\displaystyle (n^2+3)^2$ például ilyen. Legyen tehát $\displaystyle x=n^2+3$, ami valóban pozitív egész, és ekkor $\displaystyle y$-ra

$\displaystyle y=\frac{x^2-n-1}{2}=\frac{n^4+6n^2-n+8}{2}=3n^2+4+\frac{n^4-n}{2}$

adódik, ami szintén pozitív egész, és így $\displaystyle z=y+1$ is az. Ezzel a választással $\displaystyle x^2+y^2-z^2=(n^2+3)^2-(n^4+6n^2-n+8+1)=n$, tehát egy megfelelő előállítást kaptunk.

Statisztika:

120 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	68 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	30 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai