A B. 4841. feladat (2017. január)

B. 4841. Az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle k\) kör az \(\displaystyle e\) egyenest az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokban, az \(\displaystyle OB\) szakaszfelező merőlegesét pedig a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokban metszi. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle COA \sphericalangle\) szögfelezője és az \(\displaystyle e\) egyenes 60 fokos szöget zárnak be.

(3 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok helyzete alapján két különböző ábra rajzolható meg, de a megoldás mindkét esetben ugyanaz.

Legyen az \(\displaystyle OB\) sugár felezőpontja \(\displaystyle F\). A felezőmerőleges a körvonalat metszi a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokban, emiatt a \(\displaystyle COF\) és \(\displaystyle DOF\) háromszögek félszabályosak, \(\displaystyle ODF\angle=ODC\angle=OCD\angle=30^{\circ}.\) A \(\displaystyle CAB\angle\) és a \(\displaystyle CDB\angle\) a \(\displaystyle BC\) íven nyugvó kerületi szögek, vagyis a \(\displaystyle CA\) egyenes \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os szöget zár be az \(\displaystyle AB\) húr \(\displaystyle e\) egyenesével. Az \(\displaystyle AC\)-re állított merőlegesek, köztük a \(\displaystyle COA\angle\) szögfelezője, ezért \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szöget zárnak be vele.

Statisztika:

115 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	108 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai