A B. 4841. feladat (2017. január)

B. 4841. Az $\displaystyle O$ középpontú $\displaystyle k$ kör az $\displaystyle e$ egyenest az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ pontokban, az $\displaystyle OB$ szakaszfelező merőlegesét pedig a $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pontokban metszi. Mutassuk meg, hogy a $\displaystyle COA \sphericalangle$ szögfelezője és az $\displaystyle e$ egyenes 60 fokos szöget zárnak be.

(3 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pontok helyzete alapján két különböző ábra rajzolható meg, de a megoldás mindkét esetben ugyanaz.

Legyen az $\displaystyle OB$ sugár felezőpontja $\displaystyle F$. A felezőmerőleges a körvonalat metszi a $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pontokban, emiatt a $\displaystyle COF$ és $\displaystyle DOF$ háromszögek félszabályosak, $\displaystyle ODF\angle=ODC\angle=OCD\angle=30^{\circ}.$ A $\displaystyle CAB\angle$ és a $\displaystyle CDB\angle$ a $\displaystyle BC$ íven nyugvó kerületi szögek, vagyis a $\displaystyle CA$ egyenes $\displaystyle 30^{\circ}$-os szöget zár be az $\displaystyle AB$ húr $\displaystyle e$ egyenesével. Az $\displaystyle AC$-re állított merőlegesek, köztük a $\displaystyle COA\angle$ szögfelezője, ezért $\displaystyle 60^{\circ}$-os szöget zárnak be vele.

Statisztika:

115 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	108 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai