A B. 4843. feladat (2017. január)

B. 4843. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle AC$, illetve $\displaystyle BC$ oldalaihoz írt köröknek az oldalakon az érintési pontjai rendre $\displaystyle K$ és $\displaystyle L$. Bizonyítsuk be, hogy a $\displaystyle KL$ és $\displaystyle AB$ szakaszok felezőpontjain átmenő egyenes párhuzamos az $\displaystyle ACB\sphericalangle$ szögfelezőjével, és felezi a háromszög kerületét.

(Kvant alapján)

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tükrözzük az $\displaystyle ABC$ háromszöget az $\displaystyle O_1CO_2$ egyenesre. Az ábra jelöléseit használva legyenek az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ csúcsok tükörképei rendre $\displaystyle A_1$ és $\displaystyle B_1$, az érintési pontoké pedig $\displaystyle K_1$ és $\displaystyle L_1$.

A $\displaystyle C$ csúcsnál lévő szögfelezőket szaggatott vonallal jelöljük, ezek merőlegesek egymásra. Az $\displaystyle ACB\angle$ legyen $\displaystyle 2\alpha$. A tükrözés miatt $\displaystyle AA_1$ és $\displaystyle BB_1$ is merőleges $\displaystyle O_1O_2$-re, és így $\displaystyle A_1BB_1\angle=A_1AB_1\angle=\alpha$.

Ekkor $\displaystyle ACA_1$, $\displaystyle KCK_1$, $\displaystyle LCL_1$, $\displaystyle BCB_1$ egyenlő szárú háromszögek, emiatt $\displaystyle AA_1||KK_1||LL_1||BB_1$, vagyis az $\displaystyle ABB_1A_1$ és $\displaystyle KLL_1K_1$ négyszögek szimmetrikus trapézok és alapjaik párhuzamosak.

Húzzuk be az $\displaystyle ABB_1 A_1$ trapéz $\displaystyle MM_1$ középvonalát. Belátjuk, hogy ez egyben a $\displaystyle KLL_1 K_1$ trapéznak is középvonala. Az érintőszakaszok egyenlősége miatt $\displaystyle AL_1=AL_2$.

$\displaystyle AL_1=AC+CL_1=AC+CL$, $\displaystyle AL_2=AB+BL_2=AB+BL$, másrészt $\displaystyle AB+BL+AC+CL=K_{ABC}$. Ezért $\displaystyle AL_1=AL_2=\frac{K_{ABC}}{2}$.

Hasonlóan beláthatjuk, hogy $\displaystyle BK_1=BK_2=\frac{K_{ABC}}{2}$.

Így $\displaystyle AL_2=AB+BL_2=BK_2=AB+AK_2$, ezért $\displaystyle AK_2=BL_2$, vagyis $\displaystyle AK=BL$. Ez azt jelenti, hogy $\displaystyle AKP$ és $\displaystyle BLQ$ egybevágó derékszögű háromszögek, így $\displaystyle LQ=KP$, vagyis az $\displaystyle ABB_1 A_1$ és $\displaystyle KLL_1 K_1$ trapézok megfelelő alapjainak távolsága megegyezik, tehát középvonalaik egybeesnek. Így az $\displaystyle MF$ egyenes, ami a közös középvonal, felezi az $\displaystyle ABB_1 A_1$ trapéz $\displaystyle AB_1$ átlóját az $\displaystyle N$ pontban.

Mivel $\displaystyle AB_1=AC+BC$, $\displaystyle AN=\frac{AC+BC}{2}$ és $\displaystyle AM=\frac{AB}{2}$, így $\displaystyle AM+AN=\frac{AB+BC+AC}{2}$, vagyis az $\displaystyle MF$ egyenes felezi az $\displaystyle ABC$ háromszög kerületét.

Másrészt az $\displaystyle MF$ egyenes merőleges a trapézok $\displaystyle O_1 O_2$ szimmetria tengelyére, ami egyben az $\displaystyle ABC$ háromszög külső szögfelezője, és így párhuzamos a $\displaystyle C$ pontból induló belső szögfelezővel.

Statisztika:

62 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai