A B. 4843. feladat (2017. január)

B. 4843. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AC\), illetve \(\displaystyle BC\) oldalaihoz írt köröknek az oldalakon az érintési pontjai rendre \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle L\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle KL\) és \(\displaystyle AB\) szakaszok felezőpontjain átmenő egyenes párhuzamos az \(\displaystyle ACB\sphericalangle\) szögfelezőjével, és felezi a háromszög kerületét.

(Kvant alapján)

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tükrözzük az \(\displaystyle ABC\) háromszöget az \(\displaystyle O_1CO_2\) egyenesre. Az ábra jelöléseit használva legyenek az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsok tükörképei rendre \(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle B_1\), az érintési pontoké pedig \(\displaystyle K_1\) és \(\displaystyle L_1\).

A \(\displaystyle C\) csúcsnál lévő szögfelezőket szaggatott vonallal jelöljük, ezek merőlegesek egymásra. Az \(\displaystyle ACB\angle\) legyen \(\displaystyle 2\alpha\). A tükrözés miatt \(\displaystyle AA_1\) és \(\displaystyle BB_1\) is merőleges \(\displaystyle O_1O_2\)-re, és így \(\displaystyle A_1BB_1\angle=A_1AB_1\angle=\alpha\).

Ekkor \(\displaystyle ACA_1\), \(\displaystyle KCK_1\), \(\displaystyle LCL_1\), \(\displaystyle BCB_1\) egyenlő szárú háromszögek, emiatt \(\displaystyle AA_1||KK_1||LL_1||BB_1\), vagyis az \(\displaystyle ABB_1A_1\) és \(\displaystyle KLL_1K_1\) négyszögek szimmetrikus trapézok és alapjaik párhuzamosak.

Húzzuk be az \(\displaystyle ABB_1 A_1\) trapéz \(\displaystyle MM_1\) középvonalát. Belátjuk, hogy ez egyben a \(\displaystyle KLL_1 K_1\) trapéznak is középvonala. Az érintőszakaszok egyenlősége miatt \(\displaystyle AL_1=AL_2\).

\(\displaystyle AL_1=AC+CL_1=AC+CL\), \(\displaystyle AL_2=AB+BL_2=AB+BL\), másrészt \(\displaystyle AB+BL+AC+CL=K_{ABC}\). Ezért \(\displaystyle AL_1=AL_2=\frac{K_{ABC}}{2}\).

Hasonlóan beláthatjuk, hogy \(\displaystyle BK_1=BK_2=\frac{K_{ABC}}{2}\).

Így \(\displaystyle AL_2=AB+BL_2=BK_2=AB+AK_2\), ezért \(\displaystyle AK_2=BL_2\), vagyis \(\displaystyle AK=BL\). Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle AKP\) és \(\displaystyle BLQ\) egybevágó derékszögű háromszögek, így \(\displaystyle LQ=KP\), vagyis az \(\displaystyle ABB_1 A_1\) és \(\displaystyle KLL_1 K_1\) trapézok megfelelő alapjainak távolsága megegyezik, tehát középvonalaik egybeesnek. Így az \(\displaystyle MF\) egyenes, ami a közös középvonal, felezi az \(\displaystyle ABB_1 A_1\) trapéz \(\displaystyle AB_1\) átlóját az \(\displaystyle N\) pontban.

Mivel \(\displaystyle AB_1=AC+BC\), \(\displaystyle AN=\frac{AC+BC}{2}\) és \(\displaystyle AM=\frac{AB}{2}\), így \(\displaystyle AM+AN=\frac{AB+BC+AC}{2}\), vagyis az \(\displaystyle MF\) egyenes felezi az \(\displaystyle ABC\) háromszög kerületét.

Másrészt az \(\displaystyle MF\) egyenes merőleges a trapézok \(\displaystyle O_1 O_2\) szimmetria tengelyére, ami egyben az \(\displaystyle ABC\) háromszög külső szögfelezője, és így párhuzamos a \(\displaystyle C\) pontból induló belső szögfelezővel.

Statisztika:

62 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai