A B. 4845. feladat (2017. január)

B. 4845. Bizonyítsuk be, hogy az

\(\displaystyle a_1 =1,\)

\(\displaystyle a_n =\frac{4a_{n-1}+\sqrt{7a^2_{n-1}-3}}{3};\quad n\ge2\)

sorozat minden eleme racionális.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Indukcióval könnyen igazolható, hogy az \(\displaystyle a_n\) sorozat szigorúan monoton növő (ami egyben azt is jelenti, hogy minden tagja legalább 1, és a rekurzió is valóban értelmes). Az \(\displaystyle a_n=\frac{4a_{n-1}+\sqrt{7a_{n-1}^2-3}}{3}\) egyenletből átrendezés, négyzetre emelés, majd rendezés után a következőket kapjuk:

\(\displaystyle a_n-\frac{4a_{n-1}}{3}=\frac{\sqrt{7a_{n-1}^2-3}}{3},\)

\(\displaystyle \left(a_n-\frac{4a_{n-1}}{3}\right)^2=\frac{7a_{n-1}^2-3}{9},\)

\(\displaystyle a_n^2-\frac{8}{3}a_na_{n-1}+a_{n-1}^2+\frac{1}{3}=0.\)

Ehhez hasonlóan, \(\displaystyle n\) helyett \(\displaystyle n+1\)-re felírva az előző egyenletet az is igaz, hogy:

\(\displaystyle a_{n+1}^2-\frac{8}{3}a_{n+1}a_{n}+a_{n}^2+\frac{1}{3}=0.\)

Tehát \(\displaystyle a_{n+1}\) és \(\displaystyle a_{n-1}\) is gyöke az \(\displaystyle x^2-\frac{8}{3}a_nx+a_n^2+\frac{1}{3}=0\) másodfokú egyenletnek, és mivel \(\displaystyle a_{n-1}<a_{n+1}\), ezért \(\displaystyle a_{n+1}\) és \(\displaystyle a_{n-1}\) az egyenlet két (különböző) gyöke. Így a Viète-formula szerint \(\displaystyle a_{n+1}+a_{n-1}=\frac{8}{3}a_n\), amiből átrendezés után \(\displaystyle a_{n+1}=\frac{8}{3}a_n-a_{n-1}\) adódik.

A feltétel szerint \(\displaystyle a_1=1\), és a rekurzió segítségével kiszámolható, hogy \(\displaystyle a_2=2\). Ezután az \(\displaystyle a_{n+1}=\frac{8}{3}a_n-a_{n-1}\) rekurzióból azonnal látható, hogy a sorozat további tagjai is racionálisak.

Statisztika:

46 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ardai István Tamás, Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Csuha Boglárka, Daróczi Sándor, Deák Bence, Döbröntei Dávid Bence, Eper Miklós, Fülöp Anna Tácia, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Imolay András, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Kővári Péter Viktor, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Nguyen Thac Bach, Noszály Áron, Olosz Adél, Póta Balázs, Richlik Róbert, Saár Patrik, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szécsényi Nándor, Szemerédi Levente, Tóth 827 Balázs, Tóth Viktor, Tran 444 Ádám, Velkey Vince, Weisz Máté.
4 pontot kapott:	Fuisz Gábor, Kovács 654 Áron , Schrettner Bálint, Sokvári Olivér, Tiderenczl Dániel, Török Tímea.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai