A B. 4847. feladat (2017. január)

B. 4847. Legyen $\displaystyle f$ a $\displaystyle [0;1]$ intervallumon értelmezett pozitív, korlátos függvény. Igazoljuk, hogy léteznek olyan $\displaystyle x_1$ és $\displaystyle x_2$ számok, amelyekre

$\displaystyle \frac{(x_2-x_1)f^2(x_1)}{f(x_2)}>\frac{f(0)}4.$

O. Reutter (Németország)

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel indirekten, hogy az állítás hamis, vagyis bármely $\displaystyle 0\leq x_1<x_2\leq 1$ esetén

$\displaystyle \frac{(x_2-x_1)f^2(x_1)}{f(x_2)}\leq \frac{f(0)}{4}.$

Meg fogjuk mutatni $\displaystyle n$-re vonatkozó teljes indukcióval, hogy $\displaystyle f(1-2^{-n})\geq 2^nf(0)$. Ha $\displaystyle n=0$, akkor ez nyilvánvalóan teljesül. Tegyük fel, hogy beláttuk már, hogy $\displaystyle f(1-2^{-n})\geq 2^nf(0)$ valamely $\displaystyle n\geq 0$ esetén. Az $\displaystyle x_1=1-2^{-n},x_2=1-2^{-(n+1)}$ választással az indirekt feltevésünk szerint:

$\displaystyle \frac{((1-2^{-(n+1)})-(1-2^{-n}))f^2(1-2^{-n})}{f(1-2^{-(n+1)})}\leq \frac{f(0)}{4}.$

Ebből átszorzás és leosztás után:

$\displaystyle 4\cdot\frac{2^{-(n+1)}f^2(1-2^{-n})}{f(0)}\leq f(1-2^{-(n+1)}).$

Az indukciós feltevés segítségével a bal oldal alulról becsülhető:

$\displaystyle 4\cdot\frac{2^{-(n+1)}f^2(1-2^{-n})}{f(0)}\geq 4\cdot\frac{2^{-(n+1)}(2^nf(0))^2}{f(0)}=2^{n+1}f(0).$

Így $\displaystyle 2^{n+1}f(0)\leq f(1-2^{-(n+1)})$, vagyis az egyenlőtlenség $\displaystyle (n+1)$-re is teljesül.

Ezzel bebizonyítottuk, hogy $\displaystyle f(1-2^{-n})\geq 2^nf(0)$ minden $\displaystyle n$-re, ami viszont ellentmond annak, hogy $\displaystyle f$ korlátos $\displaystyle [0,1]$-en. Vagyis az indirekt feltevésünk hamis, és így a feladat állítása igaz.

Statisztika:

18 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Hansel Soma, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kovács 246 Benedek, Matolcsi Dávid, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szemerédi Levente, Tóth Viktor, Weisz Máté.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai