 |
A B. 4849. feladat (2017. február) |
B. 4849. Az ABC△ beírt körének középpontja K, az AB oldalhoz hozzáírt kör középpontja L. Mutassuk meg, hogy a körülírt kör C-vel szemközti AB íve és a KL szakasz felezik egymást.
(3 pont)
A beküldési határidő 2017. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A C-hez tartozó belső szögfelező felezi a körülírt kör AB ívét, mert két egyenlő kerületi szöghöz egy körben egyenlő ívek tartoznak. Az AB szakasz felezőmerőlegese is felezi az AB ívet, hiszen az AB szakasz és a kör is tengelyesen szimmetrikus erre a felezőmerőlegesre. A C-hez tartozó belső szögfelező és az AB szakasz felezőmerőlegese tehát az AB ív F felezőpontjában metszik egymást.
Az A és B csúcsokhoz tartozó külső szögfelezők és a C-hez tartozó belső szögfelező az AB oldalhoz hozzáírt kör L középpontjában metszik egymást. Vagyis KL egyenese a C-hez tartozó belső szögfelező. Másrészt az A és B csúcsokhoz tartozó belső és külső szögfelezők merőlegesek egymásra, KAL∠=LBK∠=90∘. Emiatt az A és B pontok a KL szakasz Thálesz-körén helyezkednek el. Ennek a körnek KL átmérője, az AB pedig húrja. A húr felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján, ami a KL szakasz felezőpontja. Tehát az F pont a KL felezőpontja is.
Statisztika:
101 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 84 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2017. februári matematika feladatai
|
|