Problem B. 4851. (February 2017)
B. 4851. Prove that if all three roots of the equation
\(\displaystyle x^3-px^2+qx-r=0 \)
are positive then the sum of the reciprocals of the roots is at most \(\displaystyle \frac{p^2}{3r}\).
(Proposed by M. Kovács, Budapest)
(4 pont)
Deadline expired on March 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen az egyenlet három gyöke \(\displaystyle x_1,x_2,x_3\). Ekkor a Viète-formulák szerint
\(\displaystyle p=x_1+x_2+x_3,\)
\(\displaystyle q=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1,\)
\(\displaystyle r=x_1x_2x_3.\)
(Ebből látható, hogy \(\displaystyle p,q,r\) is pozitív számok.) Ezt felhasználva a gyökök reciprokösszege:
\(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1}{x_1x_2x_3}=\frac{q}{r}.\)
Így a bizonyítandó egyenlőtlenség:
\(\displaystyle \frac{q}{r}\leq \frac{p^2}{3r}.\)
Ekvivalens átalakítás, ha szorzunk a (pozitív) \(\displaystyle 3r\) számmal:
\(\displaystyle 3q\leq p^2.\)
A \(\displaystyle q\) és \(\displaystyle p\) számokat a gyökökkel kifejezve:
\(\displaystyle 3(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)\leq (x_1+x_2+x_3)^2.\)
Az egyenletet 2-vel szorozva, rendezve, és teljes négyzeteket kialakítva a következő egyenlőtlenséget kapjuk:
\(\displaystyle 0\leq (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2.\)
Ez pedig valóban teljesül, amivel a feladat állítását igazoltuk.
Statistics:
118 students sent a solution. 4 points: 73 students. 3 points: 36 students. 2 points: 7 students. 1 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2017