A B. 4859. feladat (2017. március)

B. 4859. Rudi gondolt egy pozitív egész $\displaystyle k$ számot, és azt vette észre, hogy tízes számrendszerben $\displaystyle 4^k$ és $\displaystyle 5^k$ ugyanazzal a számjeggyel kezdődik. Bizonyítsuk be, hogy ez a jegy csak $\displaystyle 2$-es vagy $\displaystyle 4$-es lehet.

Német feladat

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy $\displaystyle 4^k$ és $\displaystyle 5^k$ is az $\displaystyle a\in\{1,2,\dots,9\}$ számjeggyel kezdődik. Ekkor $\displaystyle k\geq 2$, és alkalmas $\displaystyle s,t$ pozitív egészekkel teljesülnek a következő egyenlőtlenségek:

(Azért szigorú az összes egyenlőtlenség, mert 10-nek pozitív egész kitevős hatványa nem lehet sem 4-hatvány, sem 5-hatvány.)

Az (1) egyenlőtlenséget a (2) négyzetével szorozva, majd $\displaystyle 10^{s+2t}$-vel osztva:

$\displaystyle a^3< 10^{2k-s-2t}<(a+1)^3,$

ami azt jelenti, hogy az $\displaystyle (a^3,(a+1)^3)$ intervallumba esik 10-hatvány. Mivel $\displaystyle 1^3=1$, $\displaystyle 2^3=8$, $\displaystyle 3^3=27$, $\displaystyle 4^3=64$, $\displaystyle 5^3=125$, $\displaystyle 6^3=216$, $\displaystyle 7^3=343$, $\displaystyle 8^3=512$, $\displaystyle 9^3=729$, $\displaystyle 10^3=1000$, ezért $\displaystyle a$ értéke valóban csak 2 vagy 4 lehet.

Megjegyzés. $\displaystyle 4^{11}$ és $\displaystyle 5^{11}$ egyaránt 4-gyel, $\displaystyle 4^{52}$ és $\displaystyle 5^{52}$ egyaránt 2-vel kezdődik.

Statisztika:

31 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Borbényi Márton, Csiszár Zoltán, Csuha Boglárka, Deák Bence, Döbröntei Dávid Bence, Dömsödi Bálint, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Imolay András, Jánosik Áron, Kerekes Anna, Kovács 246 Benedek, Lakatos Ádám, Nyitrai Boglárka, Póta Balázs, Saár Patrik, Vári-Kakas Andor, Várkonyi Dorka, Weisz Máté, Zólomy Kristóf, Zsigri Bálint.
3 pontot kapott:	György Levente, Lajkó Áron, Szabó Kristóf, Török Tímea, Török Zsombor Áron.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. márciusi matematika feladatai