A B. 4861. feladat (2017. március)

B. 4861. Legyen az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög beírt és körülírt körének sugara rendre \(\displaystyle r\), illetve \(\displaystyle R\), az \(\displaystyle AB\) átfogóhoz tartozó magasság pedig \(\displaystyle CD\). Rajzoljuk meg azt a \(\displaystyle CD\) oldalhosszúságú \(\displaystyle CEFG\) négyzetet, amelynek \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle G\) csúcsa rendre az \(\displaystyle AC\), illetve \(\displaystyle BC\) szakaszon van. Legyen \(\displaystyle T\) és \(\displaystyle t\) a \(\displaystyle CEFG\) négyzet \(\displaystyle ABC\) háromszög belsejébe eső, illetve a háromszögön kívül eső részének területe. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \frac{t}{T}=\frac{r}{2R}. \)

Bíró Bálint (Eger)

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalai a szokásos módon \(\displaystyle a=BC\), \(\displaystyle b=AC\) és \(\displaystyle c=AB\). A különböző sokszögek területét \(\displaystyle \mathrm{ter}(\dots)\) fogja jelölni.

Jól ismert, és a csúcsokból a beírt körhöz húzott érintő szakaszok egyenlőségéből leolvasható, hogy \(\displaystyle a+b-c=2r\). A Thalész-tétel megfordításából tudjuk, hogy \(\displaystyle c=2R\).

Legyen az \(\displaystyle AB\) szakasz metszéspontja az \(\displaystyle FG\), illetve az \(\displaystyle EF\) szakasszal \(\displaystyle P\), illetve \(\displaystyle Q\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszög hasonló a \(\displaystyle PQF\) háromszöghöz, mert a megfelelő oldalaik párhuzamosak. Legyen a hasonlóság aránya \(\displaystyle h=\frac{PQ}{AB}=\frac{QF}{BC}=\frac{FP}{CA}\); ekkor tehát

\(\displaystyle QF = h\cdot BC = ha, \quad FP = h\cdot CA = hb, \quad PQ = h\cdot AB = hc = 2hR. \)

Legyen \(\displaystyle m=CD\). A feltétel szerint \(\displaystyle CE=CG=CD=m\), ezért a \(\displaystyle C\) középpontú, \(\displaystyle m\) sugarú kör az \(\displaystyle E\), a \(\displaystyle G\), illetve a \(\displaystyle D\) pontban érinti az \(\displaystyle EF\), \(\displaystyle FG\) és \(\displaystyle AB\) egyeneseket. A \(\displaystyle CEQD\) és a \(\displaystyle CDPG\) négyszögek deltoidok, területüket felezi a \(\displaystyle CQ\), illetve a \(\displaystyle CP\) átlójuk.

Fejezzük ki a \(\displaystyle t\) és \(\displaystyle T\) területeket az oldalakkal, a \(\displaystyle h\) aránnyal és az \(\displaystyle m\) magassággal, valamint az \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle R\) sugarakkal a következőképpen:

\(\displaystyle t = \mathrm{ter}(FPQ) = \mathrm{ter}(CQF)+\mathrm{ter}(CFP)-\mathrm{ter}(CQP) = \frac{QF\cdot m}2 + \frac{FP\cdot m}2 - \frac{PQ\cdot m}2 = \frac{h(a+b-c)m}2 = hrm, \)

\(\displaystyle T = \mathrm{ter}(CEQPG) = \mathrm{ter}(CEQD)+\mathrm{ter}(CDPG) = 2\mathrm{ter}(CQD)+2\mathrm{ter}(CDP) = 2\mathrm{ter}(CQP) = PQ \cdot m = 2hRm. \)

A két terület hányadosa

\(\displaystyle \frac{t}{T} = \frac{hrm}{2hRm} = \frac{r}{2R}. \)

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	56 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. márciusi matematika feladatai