 |
A B. 4877. feladat (2017. május) |
B. 4877. Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok ebben a sorrendben illeszkednek egy egyenesre. Az egyenesen kívül eső \(\displaystyle E\) pontra
\(\displaystyle AEB\sphericalangle=BEC\sphericalangle =CED\sphericalangle = 45^\circ. \)
Legyen az \(\displaystyle AC\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle F\), a \(\displaystyle BD\) szakasz felezőpontja pedig \(\displaystyle G\). Mekkora az \(\displaystyle FEG\) szög?
Javasolta: Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11.c.
(3 pont)
A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.
Megoldás.
Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle FEG\) szög derékszög. Legyen \(\displaystyle EAB\sphericalangle =\alpha\). Ezt felhasználva már kiszámíthatók az ábrán látható további szögek. Az \(\displaystyle E\) pont rajta van az \(\displaystyle AC\) Thalész-körén, így az \(\displaystyle F\) pont, a kör középpontja egyenlő távolságra van az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle E\) pontoktól. Az \(\displaystyle AFE\) háromszög egyenlő szárú, az \(\displaystyle F\)-nél lévő külső szöge \(\displaystyle EFB \sphericalangle =2\alpha\). Az \(\displaystyle AEB\) háromszögben \(\displaystyle AEB \sphericalangle =45^{\circ}\), emiatt a \(\displaystyle B\)-nél fekvő külső szög \(\displaystyle EBD\sphericalangle =45^{\circ}+\alpha\).
Másrészt a \(\displaystyle BED\) háromszög is derékszögű, tehát \(\displaystyle EDB\sphericalangle =45^{\circ}-\alpha\). A \(\displaystyle BD\) szakasz Thalész-körének \(\displaystyle G\) középpontja egyenlő távolságra van a \(\displaystyle B, D\) és \(\displaystyle E\) pontoktól. Az \(\displaystyle EGD\) egyenlő szárú háromszög \(\displaystyle G\)-nél fekvő külső szöge a \(\displaystyle D\)-nél lévő belső szög kétszerese, \(\displaystyle EGF\sphericalangle =90^{\circ}-2\alpha\). Beláttuk, hogy az \(\displaystyle FEG\) háromszög két szögének összege \(\displaystyle 90^{\circ}\), tehát az \(\displaystyle FEG\) szög valóban derékszög.
Statisztika:
70 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 67 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2017. májusi matematika feladatai