 |
A B. 4883. feladat (2017. május) |
B. 4883. Definiáljuk az \(\displaystyle a_1, a_2, \ldots\) sorozatot a következő rekurzióval:
\(\displaystyle a_1=4, \quad a_2=2 \quad\text{és}\quad a_{n+1}=\frac{na_n^2}{na_n^2-(n+1)a_n+n+1}, \text{ ha } n\ge 2. \)
Igazoljuk, hogy
\(\displaystyle a_1+2\cdot a_2+3\cdot a_3+\ldots+n\cdot a_n=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot\ldots\cdot a_n \)
bármely \(\displaystyle n\ge 1\) esetén.
Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)
(6 pont)
A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Először megmutatjuk, hogy a rekurzió értelmes, vagyis a sorozat egyetlen elemére sem lesz \(\displaystyle na_n^2-(n+1)a_n+n+1=0\). Ehhez elég belátni, hogy ennek az \(\displaystyle a_n\)-ben másodfokú egyenletnek nincsen valós megoldása. Az egyenlet diszkriminánsa
\(\displaystyle (n+1)^2-4n(n+1)=-3n^2-2n+1\leq -3-2+1=-4<0,\)
így ez valóban teljesül.
A bizonyítandó állítást \(\displaystyle n\)-re vonatkozó teljes indukcióval bizonyítjuk. Legyen \(\displaystyle P_n=a_1a_2\dots a_n\) minden \(\displaystyle n\geq 1\)-re.
Ha \(\displaystyle n=1\), akkor \(\displaystyle a_1=a_1\) persze teljesül. Ha \(\displaystyle n=2\), akkor
\(\displaystyle a_1+2a_2=4+2\cdot 2=8=4\cdot 2=a_1a_2\)
valóban teljesül. Legyen most \(\displaystyle n\geq 2\) tetszőleges, és tegyük fel, hogy \(\displaystyle n\)-ig már igazoltuk az állítást.
Mivel \(\displaystyle n\)-re és \(\displaystyle (n-1)\)-re tudjuk, hogy igaz az állítás, ezért
\(\displaystyle \frac{P_n}{a_n}=P_{n-1}=a_1a_2\dots a_{n-1}=a_1+2a_2+\dots+(n-1)a_{n-1}=\)
\(\displaystyle =(a_1+2a_2+\dots+(n-1)a_{n-1}+na_n)-na_n=P_n-na_n,\)
és így \(\displaystyle P_n=\frac{na_n}{1-\frac{1}{a_n}}=\frac{na_n^2}{a_n-1}\). A kapott összefüggést felhasználva
\(\displaystyle a_1a_2\dots a_{n+1}=P_na_{n+1}= \frac{na_n^2}{a_n-1} \cdot \frac{na_n^2}{na_n^2-(n+1)a_n+n+1}=\)
\(\displaystyle =\frac{(na_n^2)^2}{(a_n-1)(na_n^2-(n+1)a_n+n+1)}\)
és
\(\displaystyle a_1+2a_2+\dots+na_n+(n+1)a_{n+1}=P_n+(n+1)a_{n+1}=\)
\(\displaystyle =\frac{na_n^2}{a_n-1} + (n+1)\cdot\frac{na_n^2}{na_n^2-(n+1)a_n+n+1}=\)
\(\displaystyle =\frac{na_n^2(na_n^2-(n+1)a_n+n+1)+(n+1)na_n^2(a_n-1)}{(a_n-1)(na_n^2-(n+1)a_n+n+1)}=\)
\(\displaystyle =\frac{(na_n^2)^2}{(a_n-1)(na_n^2-(n+1)a_n+n+1)}.\)
A kapott eredményeket összevetve látható, hogy az állítás \(\displaystyle (n+1)\)-re is teljesül, így teljes indukcióval következik, hogy a feladat állítása minden \(\displaystyle n\)-re igaz.
Statisztika:
32 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Daróczi Sándor, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kővári Péter Viktor, Nyitrai Boglárka, Velkey Vince, Weisz Máté. 5 pontot kapott: Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Horváth Péter, Imolay András, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kőrösi Ákos, Márton Dénes, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Póta Balázs, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szécsényi Nándor, Tóth Viktor, Várkonyi Dorka, Zólomy Kristóf. 4 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2017. májusi matematika feladatai