 |
A B. 4891. feladat (2017. szeptember) |
B. 4891. Az S1, S2, S3 körök páronként kívülről érintik egymást. Legyenek A, B és C rendre az S1 és S2, S1 és S3, S2 és S3 körök közös pontjai. Az AB egyenes ismételten elmetszi az S2 és S3 köröket a D, illetve az E pontokban. A DC egyenes újabb metszéspontja az S3 körrel legyen az F pont. Bizonyítsuk be, hogy a DEF háromszög derékszögű.
(Kvant)
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. Azt fogjuk belátni, hogy DEF∢=90∘. A B,E,F és C pontok az S3 kör pontjai, a BEFC húrnégyszög, tehát elegendő belátni, hogy a BCD∢ derékszög.
Legyen az S1, S2 és S3 körök középpontja O1, O2 és O3.
Az A, B és C érintési pontok, tehát rajta vannak rendre az O1O2, O1O3 és O2O3 szakaszokon. AO1=BO1, BO3=CO3 és CO2=AO2, ami azt jelenti, hogy A, B és C egyben az O1O2O3 háromszög beírt körének érintési pontjai. A beírt kör középpontja legyen K. Az O1O2O3 háromszög szögei pedig α, β és γ. Az egyenlő szárú háromszögekből azonnal számolhatóak az ABC háromszög szögei is: ABC∢=α+γ2, BCA∢=β+γ2, CAB∢=β+α2
Most alkalmazzuk az S2 körben a kerületi-középponti szögek tételét:
ADC∢=AO2C∢2=β2.
DCB∢=180°−ADC∢−ABC∢=180°−α+β+γ2=90°,
ezért DEF∢ is derékszög.
Statisztika:
112 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 89 versenyző. 4 pontot kapott: 7 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző.
A KöMaL 2017. szeptemberi matematika feladatai
|
|