A B. 4892. feladat (2017. szeptember)

B. 4892. Kezdő és Második a következő játékot játsszák. Kezdetben 2017 kavicsot helyeznek az asztalra, először Kezdő elvesz 1 kavicsot, majd Második dönt, hogy 1 vagy 2 kavicsot vesz el. Ezután Kezdő elvesz 1, 2, 3 vagy 4 kavicsot, majd Második vesz el legalább 1, de legfeljebb 8 kavicsot. És így tovább, az \(\displaystyle i\)-edik lépésben a soron következő játékosnak legalább 1, de legfeljebb \(\displaystyle 2^{i-1}\) kavicsot kell elvennie. A játékot az nyeri, aki az utolsó kavicsot elveszi. Kinek van nyerő stratégiája?

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az első 10 lépés alatt elvehető kavicsok száma legfeljebb \(\displaystyle 1+2+4+\dots+512=1023\), így ennyi lépés után még biztosan nem ér véget a játék. A 11. lépésben Kezdő legfeljebb 1024 kavicsot vehet el, vagyis akkor tud ebben a lépésben nyerni, ha az első 10 lépés során elvett kavicsok száma legalább 993. Azonban ezt Második meg tudja akadályozni, például úgy, hogy az első 5 lépése során mindig csak egy-egy kavicsot vesz el. így ugyanis az első 10 lépés alatt elvett kavicsok száma biztosan nem lesz több, mint \(\displaystyle 1+1+4+1+16+1+64+1+256+1=346\). Vagyis Második el tudja érni, hogy a 11. lépés után még legyen kavics. Mivel Második a 12. lépésben (ami az ő 6. lépése) akár 2048 kavicsot is elvehetne, így csak annyit kell tennie, hogy az összes még az asztalon lévő kavicsot elveszi, és ezzel megnyeri a játékot. Tehát beláttuk, hogy Másodiknak van nyerő stratégiája.

Statisztika:

183 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	152 versenyző.
5 pontot kapott:	21 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2017. szeptemberi matematika feladatai