A B. 4896. feladat (2017. október)

B. 4896. Az $\displaystyle ABCD$ konvex négyszög oldalfelező pontjai legyenek $\displaystyle A_1$, $\displaystyle B_1$, $\displaystyle C_1$, $\displaystyle D_1$. Az $\displaystyle A_1B_1C_1D_1$ négyszög oldalfelező pontjai legyenek $\displaystyle A_2$, $\displaystyle B_2$, $\displaystyle C_2$, $\displaystyle D_2$ és ezt folytatjuk tovább. Bizonyítsuk be, hogy ha $\displaystyle A_1B_1C_1D_1$ húrnégyszög, akkor $\displaystyle A_{2017}B_{2017}C_{2017}D_{2017}$ is húrnégyszög.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2017. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ismert, hogy egy négyszög oldalfelező pontjai paralelogrammát alkotnak. Tudjuk, hogy ez a paralelogramma, $\displaystyle A_1B_1C_1D_1$ húrnégyszög, így tehát téglalap. Egy téglalap oldalfelező pontjai rombuszt határoznak meg, tehát $\displaystyle A_2B_2C_2D_2$ rombusz. Egy rombusz oldalfelező pontjai ismét téglalapot alkotnak, és így tovább: $\displaystyle A_{2k}B_{2k}C_{2k}D_{2k}$ mindig rombusz, míg $\displaystyle A_{2k+1}B_{2k+1}C_{2k+1}D_{2k+1}$ mindig téglalap. Tehát $\displaystyle A_{2017}B_{2017}C_{2017}D_{2017}$ is téglalap, ami azt jelenti, hogy húrnégyszög is.

Statisztika:

122 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	97 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2017. októberi matematika feladatai