 |
A B. 4898. feladat (2017. október) |
B. 4898. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle A\) egy pozitív egész számokból álló négyelemű halmaz, hogy bármely \(\displaystyle a,b\in A\), \(\displaystyle a\ne b\) esetén \(\displaystyle ab+13\) négyzetszám, akkor \(\displaystyle A\) elemei 4-gyel osztva 2-t adnak maradékul. (Lásd Diofantoszi számhalmazok című cikkünket a 391. oldalon.)
Javasolta: Nyul Gábor (Debrecen)
(4 pont)
A beküldési határidő 2017. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A megoldás során használni fogjuk, hogy a páros négyzetszámok 4-es maradéka 0, a páratlan négyzetszámok 8-as maradéka 1. (Ez a jól ismert állítás a \(\displaystyle (2k)^2=4k^2\) és \(\displaystyle (2k+1)^2=4k(k+1)+1\) egyenlőségekből azonnal leolvasható.)
Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle A\)-nak legfeljebb két páratlan eleme van. Ha ugyanis legalább három lenne, akkor a skatulya-elv szerint közülük kettőnek a 4-es maradéka is megegyezne: valamely (páratlan) \(\displaystyle a,b\in A\) (\(\displaystyle a\ne b\)) mellett \(\displaystyle 4\mid a-b\) teljesülne. Azonban akár két 1 maradékot adó, akár két 3 maradékot adó szám szorzata is 1 maradékot ad 4-gyel osztva, így \(\displaystyle ab+13\) szám 4-es maradéka 2 lenne, és nem lehetne négyzetszám. Tehát a négy szám között legfeljebb két páratlan lehet.
Ha \(\displaystyle A\)-nak lenne 4-gyel osztható eleme, mondjuk \(\displaystyle a\), akkor az előzőek szerint lennie kell még legalább egy másik páros elemnek, mondjuk \(\displaystyle b\)-nek is. Ekkor viszont az \(\displaystyle ab+13\) szám 8-as maradéka 5 lenne, így nem lehetne négyzetszám. Vagyis a számok között nincs 4-gyel osztható.
Végül megmutatjuk, hogy egyetlen páratlan elem sincs \(\displaystyle A\)-ban. Ha \(\displaystyle a\in A\) páratlan lenne, akkor – mivel legfeljebb két páratlan elem van – lennie kell olyan \(\displaystyle b\in A\) elemnek is, aminek a 4-es maradéka 2. Ekkor viszont az \(\displaystyle ab+13\) szám 4-es maradéka 3 lenne, ami ellentmondás. Tehát nem lehet páratlan eleme \(\displaystyle A\)-nak, így szükségképpen mindegyik eleme 2 maradékot ad 4-gyel osztva. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
Megjegyzés. Ilyen halmaz létezik is, például \(\displaystyle A=\{2, 34, 54, 174\}\).
Statisztika:
124 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 81 versenyző. 3 pontot kapott: 21 versenyző. 2 pontot kapott: 16 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2017. októberi matematika feladatai