 |
A B. 4900. feladat (2017. október) |
B. 4900. Legyen \(\displaystyle K\) egy origóra szimmetrikus konvex lemez, \(\displaystyle e\) egy origóra illeszkedő egyenes, \(\displaystyle e'\) pedig egy tetszőleges, \(\displaystyle e\)-vel párhuzamos egyenes. Jelölje továbbá \(\displaystyle \# H\) a \(\displaystyle H\) halmazba eső rácspontok számát. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle \# (K\cap e)+1 \ge \# (K\cap e')\).
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. november 10-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. Egy \(\displaystyle s\) szakasz hosszát jelölje \(\displaystyle |s|\).
Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle \ell=|K\cap e|\ge |K\cap e'|=\ell'\). Legyen \(\displaystyle K\cap e'=PQ\), a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) tükörképe az origóra \(\displaystyle P'\) és \(\displaystyle Q'\). A \(\displaystyle PQP'Q'\) parelelogramma része \(\displaystyle K\)-nak a konvexitás miatt, így \(\displaystyle |K\cap e|\geq |PQP'Q'\cap e|=|PQ|=|K\cap e'|\).
Ha \(\displaystyle e\), és így \(\displaystyle e'\) meredeksége irracionális, akkor mindkettő legfeljebb \(\displaystyle 1\) rácspontot tartalmaz, így az egyenlőtlenség teljesül.
Ha \(\displaystyle e\) irányvektora \(\displaystyle \mathbf v=(p,q)\), ahol \(\displaystyle \text{lnko} (p,q)=1\), akkor könnyű látni, hogy az \(\displaystyle e\)-re illeszkedő rácspontok helyvektorai \(\displaystyle k\mathbf v\) (\(\displaystyle k\in \mathbb Z\)). Hasonlóan, ha az \(\displaystyle e'\)-re illeszkedik az \(\displaystyle (x_0,y_0)\) rácspont, akkor az összes rá illeszkedő rácspontok \(\displaystyle (x_0,y_0)+k\mathbf v\) alakúak. Ezekből következik, hogy \(\displaystyle K\cap e\)-ben legalább \(\displaystyle \lfloor \ell/|\mathbf v| \rfloor\) darab rácspont van, míg \(\displaystyle K\cap e'\)-ben legfeljebb \(\displaystyle \lceil \ell'/|\mathbf v| \rceil\). Így
\(\displaystyle \# (K\cap e)+1 \geq \lfloor \ell/|\mathbf v| \rfloor +1 \geq \lfloor \ell'/|\mathbf v| \rfloor +1 \geq \lceil \ell'/|\mathbf v| \rceil \geq \# (K\cap e').\)
Megjegyzés. a megoldásban a szokásoknak megfelelően konvex lemezen korlátos, zárt konvex halmazt értettünk, amely tartalmaz egy nem elfajuló háromszöget. A zártság feltevése nélkül a bizonyítás némi kiegészítésre szorul, de az állítás igaz marad.
Statisztika:
74 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Csépányi István, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Gyetvai Miklós, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Hervay Bence, Jánosik Áron, Kocsis Anett, Kupás Vendel Péter, Martinák Zalán, Molnár-Sáska Zoltán, Schrettner Jakab, Schweitzer Ádám, Szabó 997 Balázs István, Tiderenczl Dániel, Várkonyi Zsombor, Weisz Máté, Zólomy Kristóf. 4 pontot kapott: Bukva Dávid, Dobák Dániel, Fitos Bence, Fuisz Gábor, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Harsányi Benedek, Hegedűs Dániel, Horváth 721 Balázs, Jánosik Máté, Janzer Orsolya Lili, Jedlovszky Pál, Kántor András Imre, Kerekes Anna, Kószó Máté József, Markó Anna Erzsébet, Márton Dénes, Mikulás Zsófia, Nagy Nándor, Noszály Áron, Perényi Gellért, Pituk Gábor, Póta Balázs, Sebestyén Pál Botond, Szabó 417 Dávid, Vida Tamás, Williams Hajna, Zsigri Bálint. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 15 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2017. októberi matematika feladatai