A B. 4916. feladat (2017. december)

B. 4916. A térbeli derékszögű koordinátarendszerben rögzítsük a \(\displaystyle P(a,b,c)\) pontot, ahol \(\displaystyle a,b,c>0\). Az origót jelölje \(\displaystyle O\). Egy \(\displaystyle P\)-re illeszkedő \(\displaystyle S\) sík messe a koor­dinátatengelyeket a pozitív felükre eső \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\) és \(\displaystyle Z\) pontokban. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle OXYZ\) tetraéder térfogata pontosan akkor minimális, ha \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle XYZ\triangle\) súlypontja.

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle X=(A, 0, 0)\), \(\displaystyle Y=(0, B, 0)\) és \(\displaystyle Z=(0, 0, C)\). Az \(\displaystyle OXYZ\) derékszögű tetraéder, amelynek az alaplapja pl. az \(\displaystyle OXY\) derékszögű háromszög, a magassága pedig \(\displaystyle OZ\), ezért a térfogata:

\(\displaystyle V=\frac{T_{OXY}\cdot OZ}3=\frac{\frac{OX\cdot OY}{2}\cdot OZ}3=\frac{OX\cdot OY \cdot OZ}{6}=\frac{ABC}{6}.\)

Az \(\displaystyle S\) sík egyenlete a tengelymetszetek ismeretében:

\(\displaystyle \frac{x}{A}+\frac{y}{B}+\frac{z}{C}=1.\)

A \(\displaystyle P\) pont ebben a síkban helyezkedik el, ezért

\(\displaystyle \frac{a}{A}+\frac{b}{B}+\frac{c}{C}=1.\)

A minimális térfogat meghatározásához használjuk fel a mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle V=\frac{ABC}{6}= \frac{abc}6\cdot\left(\root 3\of {\frac{A}{a}\cdot \frac{B}{b}\cdot\frac{C}{c}}\right)^3\ge \frac{abc}6\cdot\left(\frac{3}{\frac{a}{A}+\frac{b}{B}+\frac{c}{C}}\right)^3=\frac{abc}6\cdot\left(\frac{3}{1}\right)^3= abc\cdot \frac{9}{2}.\)

Egyenlőség pontosan akkor van, ha \(\displaystyle \frac{A}{a}=\frac{B}{B}=\frac{C}{c}\). Ez pedig akkor teljesül, ha \(\displaystyle \frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{1}{3}\). Ebben az esetben \(\displaystyle A=3a\), \(\displaystyle B=3b\) és \(\displaystyle C=3c\). Az \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\) és \(\displaystyle Z\) pontok megválaszthatók úgy, hogy ez teljesüljön, és ekkor \(\displaystyle P\) valóban az \(\displaystyle XYZ\) háromszög súlypontja.

Statisztika:

46 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Csertán András, Csiszár Zoltán, Daróczi Sándor, Deák Bence, Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Richárd, Fitos Bence, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Harsányi Benedek, Hervay Bence, Hoffmann Balázs, Kerekes Anna, Kiss Gergely, Kószó Máté József, Kupás Vendel Péter, Nagy 551 Levente, Nagy Nándor, Noszály Áron, Olosz Adél, Pituk Gábor, Reimann Kristóf, Richlik Róbert, Scheidler Barnabás, Schifferer András, Schrettner Jakab, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Szabó 864 Blanka, Szabó 997 Balázs István, Szécsényi Nándor, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Tran 444 Ádám, Tubak Dániel, Williams Hajna, Zólomy Kristóf, Zsigri Bálint.
3 pontot kapott:	Fülöp Anna Tácia.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. decemberi matematika feladatai