 |
A B. 4917. feladat (2017. december) |
B. 4917. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle f \colon \big(\mathbb{R} \setminus \{0 , 1\}\big)\to \mathbb{R}\) függvényt, amely teljesíti a következő összefüggést:
\(\displaystyle f\left(\frac{x-1}{x}\right)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=4-\frac2x. \)
Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A feltétel szerint minden \(\displaystyle x\ne 0,1\) esetén
| \(\displaystyle f\left(\frac{x-1}{x}\right)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=4-\frac{2}{x}. \) | \(\displaystyle {(1)}\) |
Az \(\displaystyle \frac{x-1}{x}=\frac{1}{1-y}\) egyenlet megoldása \(\displaystyle y=\frac{1}{1-x}\). Ha \(\displaystyle x\ne 0,1\), akkor \(\displaystyle y\ne 1\) és létezik, így (1)-ben \(\displaystyle y=\frac{1}{1-x}\) helyettesítéssel:
| \(\displaystyle f\left(x\right)+f\left(\frac{x-1}{x}\right)=2x+2. \) | \(\displaystyle {(2)}\) |
Az \(\displaystyle \frac{1}{1-x}=\frac{z-1}{z}\) egyenlet megoldása \(\displaystyle z=\frac{x-1}{x}\). Ha \(\displaystyle x\ne 0,1\), akkor \(\displaystyle z\ne 0\) és létezik, így (1)-ben \(\displaystyle z=\frac{x-1}{x}\) helyettesítéssel:
| \(\displaystyle f\left(\frac{1}{1-x}\right)+f\left(x\right)=\frac{2x-4}{x-1}. \) | \(\displaystyle {(3)}\) |
Most (2)+(3)-(1) szerint
\(\displaystyle 2f(x)=2x+2+\frac{2x-4}{x-1}-\left(4-\frac{2}{x} \right)=2x-\frac{2}{x-1}+\frac{2}{x},\)
tehát \(\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}\). Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ez a függvény valóban kielégíti a megadott függvényegyenletet.
Statisztika:
88 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Beke Csongor, Biczó Benedek, Busa 423 Máté, Csépányi István, Csertán András, Daróczi Sándor, Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Richárd, Fuisz Gábor, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Geretovszky Anna, Győrffy Ágoston, Győrffy Johanna, Hámori Janka, Harsányi Benedek, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kiss Gergely, Kovács 711 Bálint, Kupás Vendel Péter, Mikulás Zsófia, Molnár Bálint, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Nándor, Németh Ciprián, Noszály Áron, Olosz Adél, Pituk Gábor, Póta Balázs, Richlik Róbert, Schifferer András, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond, Szécsényi Nándor, Szemerédi Levente, Szinyéri 427 Bence, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Vári-Kakas Andor, Várkonyi Zsombor, Weisz Máté, Zólomy Kristóf, Zsigri Bálint. 4 pontot kapott: 27 versenyző. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2017. decemberi matematika feladatai