A B. 4922. feladat (2018. január)

B. 4922. Oldjuk meg az egész számhármasok körében a következő egyenletrendszert:

$\displaystyle 3x-y^{2} =\frac{z}{2},$

$\displaystyle 3y+x^{2} =\frac{3z}{2}.$

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(3 pont)

A beküldési határidő 2018. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A második egyenletből kivonva az első egyenlet 3-szorosát , rendezés után a következőt kapjuk:

$\displaystyle x^2-9x+3y^2+3y=0.$

4-gyel szorozva, és teljes négyzetté alakítás után:

$\displaystyle (2x-9)^2+3(2y+1)^2=84.$

A kapott egyenlet bal oldalán mindkét összeadandó nemnegatív. Mivel az első szám páratlan, ezért $\displaystyle (2y+1)^2$ egy olyan páratlan négyzetszám, amely kisebb, mint $\displaystyle 84/3$. így $\displaystyle (2y+1)^2$ értéke csak 1, 9, vagy 25 lehet. Ha $\displaystyle (2y+1)^2=9$ lenne, akkor $\displaystyle (2x-9)^2$ értéke 57 lenne, ami nem négyzetszám. Tehát $\displaystyle (2y+1)^2=1$ vagy $\displaystyle (2y+1)^2=25$. Ekkor rendre $\displaystyle (2x-9)^2=81$ vagy $\displaystyle (2x-9)^2=9$. Így a $\displaystyle (2x-9; 2y+1)$ rendezett pár a következők valamelyike lehet:

$\displaystyle (9;1),(9;-1),(-9;1),(-9;-1),(3;5),(3;-5),(-3;5),(-3;-5).$

Ekkor $\displaystyle (x;y)$ rendre

$\displaystyle (9;0), (9;-1), (0;0),(0;-1),(6;2),(6;-3),(3;2),(3;-3).$

Ezután $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ ismeretében már $\displaystyle z$ értékét is meghatározhatjuk akár az első, akár a második egyenlet segítségével, így a következő $\displaystyle (x;y;z)$ hármasokat kapjuk:

$\displaystyle (9;0;54), (9;-1;52), (0;0;0),(0;-1;-2),(6;2;28),(6;-3;18),(3;2;10),(3;-3;0).$

Ezek a számhármasok valóban kielégítik mindkét egyenletet, így az egyenletrendszernek ez a nyolc számhármas a megoldása.

Statisztika:

120 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	72 versenyző.
2 pontot kapott:	25 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2018. januári matematika feladatai