A B. 4930. feladat (2018. február)

B. 4930. Bergengóciában, ,,Turágus'' faluban három vallás képviselői a Napimádók, a Holdimádók és a Földimádók. A vallási előírások szerint a szentélynek a falu valamennyi házától vett távolságösszege a lehető legkisebb kell, hogy legyen (függetlenül attól, hogy a házban milyen vallás hívei élnek.) Igazoljuk, hogy ha a Napimádóknak, és a Holdimádóknak már van egy-egy szentélye a faluban, akkor a Földimádók is tudnak építeni egy újabb szentélyt. (A falu sík terepen terül el, és a szentély, illetve a falu házai is pontszerűnek tekintendőek.)

(3 pont)

A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljék a falu házait a \(\displaystyle P_1, P_2, ..., P_n\) pontok a síkon, míg a Napimádók szentélyét az \(\displaystyle N\), a Holdimádók szentélyét a \(\displaystyle H\) pont. A feladat alapján \(\displaystyle H \neq N\).

Jelölje az \(\displaystyle F\) pont a \(\displaystyle HN\) szakasz felezőpontját, és tekintsünk egy tetszőleges \(\displaystyle P_i\) pontot. Legyen a \(\displaystyle P_i\) pont \(\displaystyle F\) pontra vonatkozó tükörképe \(\displaystyle Q_i\).

Két eset lehetséges: \(\displaystyle P_i\) nem esik a \(\displaystyle HN\) egyenesre (és így \(\displaystyle P_iHQ_iN\) paralelogrammát képez), vagy \(\displaystyle P_i, H, N\) (és így \(\displaystyle Q_i\) is) kollineárisak.

Ha \(\displaystyle P_i\) nem esik a \(\displaystyle HN\) egyenesre (lásd az ábrát) akkor a \(\displaystyle P_i\) pont szentélyektől vett távolságösszegére a háromszög-egyenlőtlenség alapján: \(\displaystyle P_iH + P_iN = P_iH + HQ_i>P_iQ_i=2 P_iF\).

Hasonlóan, ha \(\displaystyle P_i\) ráesik a \(\displaystyle HN\) egyenesére, akkor

– ha \(\displaystyle P_i\) belső pontja a \(\displaystyle HN\) szakasznak, akkor \(\displaystyle P_iH + P_iN >2 P_iF\),

– ha \(\displaystyle P_i\) nem belső pontja a szakasznak, akkor \(\displaystyle P_iH + P_iN = 2 P_iF\) tejesül.

A fentiek alapján, ha minden \(\displaystyle P_i\) pontra összegezzük a \(\displaystyle P_iH, P_iN, P_iF\) távolságokat: \(\displaystyle \displaystyle{\sum_i P_iH = \sum_i P_iN = \dfrac{1}{2} \sum_i \left( P_iH + P_iN \right) \geq \sum_i P_iF}\) adódik, és az egyenlőség pontosan akkor teljesülhet csak, ha valamennyi \(\displaystyle P_i\) pont egy egyenesre (a \(\displaystyle HN\) egyenesére) esik, valamint a \(\displaystyle HN\) szakasznak egyetlen \(\displaystyle P_i\) pont sem belső pontja. Mivel \(\displaystyle H, N\) "optimális pontok", ezért nyilván teljesül is az egyenlőség. Ekkor természetesen \(\displaystyle F\) pont választható a Földimádók szentélyének helyéül (hiszen itt biztosan nem található ház)!

Megjegyzés. A feladatban szereplő falu matematikailag létezik is, pontosan páros mennyiségű egy egyenesre ("Turágus \(\displaystyle \Leftrightarrow\) sugárúT") eső házzal. Ekkor a két "középső" ház között lévő mediánszakasz bármely pontjába építhető szentély, azaz három vallás helyett akármennyi vallás szentélye felhúzható.

Statisztika:

55 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Beke Csongor, Bursics András, Csépányi István, Csiszár Zoltán, Daróczi Sándor, Deák Bence, Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Fraknói Ádám, Füredi Erik Benjámin, Győrffy Ágoston, Győrffy Johanna, Kántor András Imre, Kerekes Anna, Kiss Gergely, Kitschner Bernadett, Kocsis Anett, Kovács 711 Bálint, Kupás Vendel Péter, Lorcan O'Connor, Molnár-Sáska Zoltán, Nguyen Bich Diep, Póta Balázs, Saár Patrik, Shuborno Das, Szabó 417 Dávid, Tóth-Rohonyi Iván, Tran 444 Ádám, Vári-Kakas Andor, Várkonyi Zsombor.
2 pontot kapott:	Albert Márton, Argay Zsolt, Baski Bence, Bukva Dávid, Hegedűs Dániel, Kószó Máté József, Kovács 526 Tamás, Noszály Áron, Osztényi József, Reimann Kristóf, Sebestyén Pál Botond, Surján Anett, Szabó 991 Kornél.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2018. februári matematika feladatai