A B. 4931. feladat (2018. február)

B. 4931. Mutassuk meg, hogy egy háromszög $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ oldalaira teljesül, hogy

$\displaystyle \frac{a^2(b+c)+b^2(a+c)}{abc}>3.$

(3 pont)

A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A háromszög-egyenlőtlenség szerint $\displaystyle a+b>c$, ezt használva:

$\displaystyle \frac{a^2(b+c)+b^2(a+c)}{abc}=\frac{ab(a+b)+(a^2+b^2)c}{abc}>$

$\displaystyle >\frac{abc+(a^2+b^2)c}{abc}=\frac{abc+(a-b)^2c+2abc}{abc}\geq \frac{3abc}{abc}=3,$

hiszen $\displaystyle (a-b)^2\geq 0$. Ezzel az állítást bizonyítottuk.

Statisztika:

141 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	138 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. februári matematika feladatai