A B. 4931. feladat (2018. február)

B. 4931. Mutassuk meg, hogy egy háromszög \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalaira teljesül, hogy

\(\displaystyle \frac{a^2(b+c)+b^2(a+c)}{abc}>3. \)

(3 pont)

A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A háromszög-egyenlőtlenség szerint \(\displaystyle a+b>c\), ezt használva:

\(\displaystyle \frac{a^2(b+c)+b^2(a+c)}{abc}=\frac{ab(a+b)+(a^2+b^2)c}{abc}>\)

\(\displaystyle >\frac{abc+(a^2+b^2)c}{abc}=\frac{abc+(a-b)^2c+2abc}{abc}\geq \frac{3abc}{abc}=3,\)

hiszen \(\displaystyle (a-b)^2\geq 0\). Ezzel az állítást bizonyítottuk.

Statisztika:

141 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	138 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. februári matematika feladatai