Problem B. 4932. (February 2018)

B. 4932. The Great Bestiary of Wonderland features a dragon for every week of the year. All dragons have different ages. The youngest dragon, named Aloysius has 13 heads. The second youngest one, Bartholomeus has 14 heads, ... (and so on, each dragon in the order of their ages has one more head than the previous one). The oldest dragon, Zebulon has 64 heads. Wonderland monks are writing the Giant Codex of Dragon Tales. A tale may only be included in the Codex if the total number of heads of all the dragons in the tale is exactly 1001. For every pair of tales, the sets of dragons mentioned in the tales are different. Which of the 13-headed Aloysius and the 14-headed Bartholomeus will appear in more tales when the monks are finished with writing down all possible tales?

(5 pont)

Deadline expired on March 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vegyük észre, hogy \(\displaystyle 13+14+\dots+64=\frac{13+64}{2}\cdot 52 = 2002=2\cdot 1001\). Ez azt jelenti, hogy ha a sárkányok egy részének fejeinek együttes száma 1001, akkor a többieknek is éppen 1001 feje van együttesen. Tehát a sárkányokból képezhető részhalmazok párokba sorolhatók (a páron belüli két részhalmaz épp egymás komplementere, vagyis minden sárkány a párnak pontosan egyik tagjában szerepel) úgy, hogy a párok két tagja közül vagy mindkét részhalmazra teljesül, hogy alkothatják egy mese szereplőinek halmazát, vagy egyikre sem. A megfelelő párok száma legyen \(\displaystyle k\). Ha veszünk egy tetszőleges sárkányt, ő minden pár, és így minden megfelelő pár pontosan egyik tagjának eleme, így éppen \(\displaystyle k\) mesében szerepel. Mivel ez a szám nem függ a sárkány választásától, ezért mind az 52 sárkány, speciálisan Alajos és Botond is ugyanannyi (\(\displaystyle k\) darab) mesében szerepel.

Statistics:

104 students sent a solution.
5 points:	85 students.
4 points:	4 students.
2 points:	11 students.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2018