A B. 4932. feladat (2018. február)

B. 4932. A Nagy Meseországi Bestiáriumban az év minden hetére jut egy-egy sárkány. A legfiatalabb sárkány, Alajos 13-fejű, a következő sárkány Botond 14-fejű ... (és így tovább, minden újabb idősebb sárkánynak eggyel több feje van, mint az előzőnek), míg a legidősebb sárkány Zoárd 64-fejű. A meseországi szerzetesek elkészítették a Nagy Sárkánymesés Kódexet. A Kódexbe csak az a mese kerülhet be, amelyben szereplő sárkányok fejeinek a száma pontosan 1001. Bármely két mese esetén van legalább egy olyan sárkány, ami csak az egyik mesében szerepel. Miután a Kódexbe a fenti feltételeknek megfelelő összes lehetséges mesét lejegyezték, a 13-fejű Alajos, vagy a 14-fejű Botond szerepel-e több mesében?

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyük észre, hogy \(\displaystyle 13+14+\dots+64=\frac{13+64}{2}\cdot 52 = 2002=2\cdot 1001\). Ez azt jelenti, hogy ha a sárkányok egy részének fejeinek együttes száma 1001, akkor a többieknek is éppen 1001 feje van együttesen. Tehát a sárkányokból képezhető részhalmazok párokba sorolhatók (a páron belüli két részhalmaz épp egymás komplementere, vagyis minden sárkány a párnak pontosan egyik tagjában szerepel) úgy, hogy a párok két tagja közül vagy mindkét részhalmazra teljesül, hogy alkothatják egy mese szereplőinek halmazát, vagy egyikre sem. A megfelelő párok száma legyen \(\displaystyle k\). Ha veszünk egy tetszőleges sárkányt, ő minden pár, és így minden megfelelő pár pontosan egyik tagjának eleme, így éppen \(\displaystyle k\) mesében szerepel. Mivel ez a szám nem függ a sárkány választásától, ezért mind az 52 sárkány, speciálisan Alajos és Botond is ugyanannyi (\(\displaystyle k\) darab) mesében szerepel.

Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	85 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. februári matematika feladatai